Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng

Căn bậc 2 và căn bậc 3 là bài đầu tiên trong chương trình đại số toán lớp 9, đây là nội dung quan trọng vì các dạng toán về căn bậc hai và căn bậc ba thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Để giải các dạng bài tập về căn bậc 2, căn bậc 3 thì các em cần nắm vững phần nội dung lý thuyết cùng các dạng bài tập về căn bậc 2 và bậc 3. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các dạng toán về căn bậc 2 và căn bậc 3 thường gặp để các em có thể nắm vững nội dung này.

This post: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng

A. Kiến thức cần nhớ về căn bậc 2 căn bậc 3

I. Căn bậc 2

1. Căn bậc 2 là gì?

– Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x² = a.

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là small sqrt{a} , số âm kí hiệu là small -sqrt{a} .

– Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết small sqrt{0}=0

– Với số dương a, số small sqrt{a} là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0.

2. Tính chất của căn thức bậc 2

a) sqrt{A} có nghĩa khi A ≥0.

b) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

c) small sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B},(Ageq 0,Bgeq 0)

d) $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}},(Ageq 0,B> 0)$

3. Các phép biến đổi căn thức bậc 2 cơ bản

a) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}B}=left | A ight |sqrt{B},(Bgeq 0)$

• $small Ageq 0:A.sqrt{B}=sqrt{A^{2}B}$

• $small A< 0:A.sqrt{B}=-sqrt{A^{2}B}$

b) $small sqrt{frac{A}{B}}=sqrt{frac{AB}{B^{2}}}=frac{1}{left | B ight |}sqrt{AB},$ small (ABgeq 0,B
eq 0)

c) $small frac{A}{sqrt{B}}=frac{Asqrt{B}}{B},(B> 0)$

d) $small frac{1}{sqrt{A}pm sqrt{B}}=frac{sqrt{A}mp sqrt{B}}{A-B},$ small (A,Bgeq 0;A
eq B)

e) $small A+Bpm 2sqrt{AB}=(sqrt{A}pm sqrt{B})^{2},$ small (Ageq 0,Bgeq 0)

f) $small A+B^{2}pm 2Bsqrt{A}=(sqrt{A}pm B)^{2},$ (Ageq 0)

II. Căn bậc 3

1. Căn bậc là gì?

– Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a.

2. Tính chất của căn bậc 3

– Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.

• small A< BLeftrightarrow sqrt[3]{A}< sqrt[3]{B}

• small sqrt[3]{A.B}=sqrt[3]{A}.sqrt[3]{B}

• $small sqrt[3]{frac{A}{B}}=frac{sqrt[3]{A}}{sqrt[3]{B}},(B eq 0)$

hayhochoi

B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3

• Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa

* Phương pháp

sqrt{A} có nghĩa khi A ≥0.

$frac{1}{sqrt{A}}$ có nghĩa khi A>0

– Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

1. sqrt{5-2x}

* Hướng dẫn: sqrt{5-2x} có nghĩa khi (5-2x)≥0

⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤ $frac{5}{2}$

2. sqrt{3x-12}

* Hướng dẫn: sqrt{3x-12} có nghĩa khi (3x-12)≥0

⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4

3. $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$

* Hướng dẫn: $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$ có nghĩa khi x² > 0 ⇔ x > 0

4. $sqrt{frac{-1}{3x-6}}$

* Hướng dẫn: căn thức có nghĩa khi $left ( frac{-1}{3x-6} ight )geq 0$

⇔ 3x – 6 < 0 ⇔ x < 2

• Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức

* Phương pháp

– Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn: $small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. $sqrt{left ( 2-sqrt{3}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $small sqrt{left ( 2-sqrt{3} ight )^{2}}=left | 2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3}$

vì small 2=sqrt{4}> sqrt{3}

2. $sqrt{left ( 3-sqrt{11}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $small sqrt{left ( 3-sqrt{11} ight )^{2}}=left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3$

– Vì small sqrt{11}> sqrt{9}=3

• Dạng 3: Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức

* Phương pháp

– Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. 3{sqrt{50}}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

* Hướng dẫn:

– Ta có: small 3sqrt{50}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

= small 3sqrt{25.2}-5sqrt{9.2}+2sqrt{36.2}

= 3.5{sqrt{2}}-5.3sqrt{2}+2.6sqrt{2}= 15{sqrt{2}}-15sqrt{2}+12sqrt{2}=12sqrt{2}

2. $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} ; xgeq 0;ygeq 0;x eq y$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} =frac{sqrt{x^{3}}-sqrt{y^{3}}}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=frac{left ( sqrt{x}-sqrt{y} ight )(sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}})}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}}$

• Dạng 4: Giải phương trình có chứa căn thức

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow A=B^{2}$ (nếu B>0).

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^{2} end{matrix} ight.$ (nếu B là một biểu thức chứa biến)

+ Dạng: small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} A=B Ageq 0 end{matrix}
ight.

+ Dạng: $small sqrt{A^{2}}=B$ , ta đưa về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $small sqrt{A^{2}}=B$ small Leftrightarrow left | A
ight |=B

° Trường hợp 1: Nếu B là một số dương thì: small left | A
ight |=BLeftrightarrow left [ egin{matrix} A=B -A=B end{matrix}

° Trường hợp 2: Nế B là một biểu thức chứa biến thì: small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=pm B end{matrix}
ight.

Ví dụ: Giải phương trình sau

1. sqrt{16x}=8

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 0

sqrt{16x}=8 Leftrightarrow 4sqrt{x}=8Leftrightarrow sqrt{x}=2Leftrightarrow x=4

– Kết luận: x=4 là nghiệm

2. sqrt{9(x-1)}=21

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 1, ta có

sqrt{9(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

Leftrightarrow sqrt{x-1}=7 Leftrightarrow x-1 = 49 Leftrightarrow x = 50

• Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức

* Phương pháp:

– Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2

– Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B

+ Chứng minh A = C và B = C

+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)

* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức

1. ${(sqrt{3}-1)^{2}}=4-2sqrt{3}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $VT={(sqrt{3}-1)^{2}}=(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}$

= 4-2sqrt{3}=VP

– Vậy ta có điều cần chứng minh

2. sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

* Hướng dẫn:

– Ta có: $sqrt{4-2sqrt{3}}=sqrt{(sqrt{}3)^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}}$

$=sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}=left | sqrt{3}-1 ight |=sqrt{3}-1$

– Thay vào vết trái ta có:

VT=sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1=VP

– Ta được điều cần chứng minh.

C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3

* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:

a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47

* Lời giải bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 ⇒ √4 > √3 (Định lý)

– Kết luận: small 2> sqrt{3}

b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41

– Kết luận: small 6< sqrt{41}

c) Ta có: 7 = √49 mà 49 > 47 ⇒ √49 > √47

– Kết luận: small 7> sqrt{47}

* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:

a) small sqrt{x}=15 b) small 2sqrt{x}=14

c) small sqrt{x}< sqrt{2} d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

* Lời giải bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1:

– Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) small sqrt{x}=15

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 15² ⇔ x = 225

– Kết luận: x = 225

b) small 2sqrt{x}=14 ⇔ small sqrt{x}=7

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 7² ⇔ x = 49

– Kết luận: x = 49

c) small sqrt{x}< sqrt{2}

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

– Kết luận: 0 ≤ x < 2

d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8

– Kết luận: 0 ≤ x < 8

* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $small sqrt{frac{a}{3}}$ b) small sqrt{-5a} c) small sqrt{4-a} d) small sqrt{3a+7}

* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Điều kiện xác định cả $small sqrt{frac{a}{3}}$ là $small frac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0

c) Tương tự: 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.

* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

a) $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}$ c) $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ d) $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$

* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small sqrt{(0,1)^{2}}=left | 0,1 ight |=0,1$ $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$

b) Ta có: $small small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}=left | -0,3 ight |=0,3$

c) Ta có: $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ small =-left | -1,3
ight |=-1,3

d) Ta có: $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$ small =-0,4left | -0,4
ight |=-0,4.0,4=-0,16

* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$

c) $small 2sqrt{a^{2}}$ với a≥0. d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ với a<2.

* Lời giải bài 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ small =left |2-sqrt{3}
ight |=2-sqrt{3} (vì small 2-sqrt{3} > 0 do small 2=sqrt{4} > sqrt{3} )

b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$ small =left | 3-sqrt{11}
ight |=sqrt{11}-3 (vì √11 – 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a² = 2|a| = 2a với a ≥ 0

d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ small =3left | a-2
ight |=3(2-a) (vì a < 2 nên 2 – a > 0)

* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

a) $small sqrt{x^{2}}=7$ b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |$ c) $small sqrt{4x^{2}}=16$ d) $small sqrt{9x^{2}}=left |-12 ight |$

* Lời giải bài 9 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{x^{2}}=7Leftrightarrow left | x ight |=7$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=7 x=-7 end{matrix}

b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |Leftrightarrow sqrt{x^{2}}=8$ small Leftrightarrow left | x
ight |=8Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=8 x=-8 end{matrix}

c) $small sqrt{4x^{2}}=6Leftrightarrow small sqrt{left (2x ight )^{2}}=6$ small Leftrightarrow left | 2x
ight |=6Leftrightarrow left |x
ight |=3 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=3 x=-3 end{matrix}

d) $small sqrt{9x^{2}}=left | -12 ight |Leftrightarrow sqrt{(3x)^{2}}=12$ small Leftrightarrow left | 3x
ight |=12Leftrightarrow left | x
ight |=4 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=4 x=-4 end{matrix}

* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

a) $small left ( sqrt{3}-1 ight )^{2}=4-2sqrt{3}$

b) small sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: VT = (√3 – 1)² = (√3)² – 2√3 + 1 = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3 = VP

⇒ (√3 – 1)² = 4 – 2√3 (đpcm)

b) Ta có: small VT=sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3} $small =sqrt{(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+1^{2}}-sqrt{3}$

$small =sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}-sqrt{3}$ small =left | sqrt{3}-1
ight |-sqrt{3} small =sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1 = VP (đpcm).

* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

a) x² – 3. b) x² – 6 c) x² + 2√3 x + 3. d) x² – 2√5 x + 5

* Lời giải bài 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)

b) x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)

c) x² + 2√3.x + 3 = x² + 2√3.x + (√3)² = (x + √3)²

d) x² – 2√5.x + 5 = x² – 2√5.x + (√5)² = (x – √5)²

* Bài 67 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tìm small sqrt[3]{512} ; small sqrt[3]{-729} ; small sqrt[3]{0,064} ; small sqrt[3]{-0,216} ; small sqrt[3]{-0,008}

* Lời giải bài 67 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{512}=sqrt[3]{8^{3}}=8$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-729}$ $small =sqrt[3]{(-9)^{3}}=-9$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{0,064}$ $small =sqrt[3]{left (0,4 ight )^{3}}=0,4$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,216}$ $small =sqrt[3]{left (-0,6 ight )^{3}}=-0,6$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,008}$ $small =sqrt[3]{(-0,2)^{3}}=-0,2$

* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 2³ = 8; 3³ = 27; 4³ = 64; 5³ = 125; 6³ = 216; 7³ = 343; 8³ = 512; 9³ = 729;

* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125}

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$

* Lời giải bài 68 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{(-2)^{3}}-sqrt[3]{5^{3}}$ small = 3 - (-2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$ $small = sqrt[3]{frac{135}{5}}-sqrt[3]{54.5}$ small = sqrt[3]{27}-sqrt[3]{216} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{6^{3}}=3-6=-3$

* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh

a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.

* Lời giải bài 69 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small 5=sqrt[3]5^{3}{}=sqrt[3]{125}$ > small sqrt[3]{123} ⇒ small 5> sqrt[3]{123}

b) Ta có: $small dpi{100} fn_cm small 5sqrt[3]{6}=sqrt[3]{5^{3}.6}=sqrt[3]{125.6}=sqrt[3]{750}$ ; $small 6sqrt[3]{5}=sqrt[3]{6^{3}.5}=sqrt[3]{216.5}=sqrt[3]{1080}$

– Vì small sqrt[3]{750}< sqrt[3]{1080} ⇒ 5∛6 < 6∛5

D. Bài tập luyện tập căn bậc 2 căn bậc 3

Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) small sqrt{-3x} b) small sqrt{4-2x}

c) small sqrt{-3x+3} d) small sqrt{6x-2}

Bài tập 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) $small sqrt{frac{1}{3-2x}}$ b) $small sqrt{frac{2}{2x+5}}$ c) $small sqrt{frac{-3}{x+2}}$

Bài tập 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) $small sqrt{9x^{2}-6x+1}$ b) $small sqrt{-x^{2}+2x-1}$

c) small sqrt{-left | x-3
ight |} d) $small sqrt{9-x^{2}}$

e) $small sqrt{x^{2}-2x-3}$ f) small small sqrt{left | x-2
ight |-3}

g) $small frac{1}{sqrt{x+2sqrt{x-1}}}$ h) $small frac{-1}{sqrt{9-12x+4x^{2}}}$

Bài tập 4: Thực hiện các phép tính sau

a) $small sqrt{({2sqrt{2}-3})^{2}}$ b) $small sqrt{left ( frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{2}} ight )^{2}}$

c) $small sqrt{(5-2sqrt{6})^{2}}-sqrt{(5+2sqrt{6})^{2}}$

d) small sqrt{6-4sqrt{2}}+sqrt{22-12sqrt{2}}

Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau

a) $small x+3+sqrt{x^{2}-6x+9},(xleq 3)$

b) $small sqrt{x^{2}+4x+4}-sqrt{x^{2}}$ , small -2leq xleq 0

c) $small frac{sqrt{x^{2}-2x+1}}{x-1},x> 1$

d) $small left | x-2 ight |+frac{sqrt{x^{2}-4x+4}}{x-2},x< 2$

Bài tập 6: Giải các phương trình sau

a) $small sqrt{(x-3)^{2}}=3-x$

b) small sqrt{x+2sqrt{x-1}}=2

c) small sqrt{x-2sqrt{x-1}}=sqrt{x-1}-1

d) $small sqrt{2x^{2}-3}=sqrt{4x-3}$

e) $small sqrt{x^{2}-x}=sqrt{3x-5}$

f) $small sqrt{x^{4}-2x^{2}+1}=x-1$

g) small left | 3x+1
ight |=left | x+1
ight |

h) $small left | x^{2}-3 ight |=left | x-sqrt{3} ight |$

i) $small left | x^{2}-1 ight |+left | x+1 ight |=0$

k) $small sqrt{x^{2}-4}+sqrt{x^{2}+4x+4}=0$

* Đáp số: a) x≤3; b) x=2; c) x≥2; d) x=2; e) vô nghiệm;

f) x=1; g) x=0; x=-1/2; h) x=√3; x=-1-√3; i) x=-1; k) x-2;

Hy vọng với bài viết về các dạng toán căn bậc 2 căn bậc 3 và bài tập vận dụng ở trên hữu ích với các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục