Trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là những kiến thức hình học cơ bản ta đã được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên nhiều năm trôi qua có rất ít người có thể nhớ một cách chính xác trực tâm là gì? Cách xác định ra sao? Vậy trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm như thế nào? Mời quý đọc giả theo dõi bài viết sau đây để biết câu trả lời.

Trực tâm là gì?

Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.

This post: Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm dễ hiểu nhất

Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.

Giả sử cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Gọi S là là giao điểm của ba đường cao trên thì S là trực tâm của tam giác LMN.

Trực tâm của tam giác LMN.

Đường cao AH của tam giác ABC

Tính chất của trực tâm trong tam giác

Trực tâm tam giác có nhiều định lý, tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, bạn cần nắm rõ các định lý, tính chất này để vận dụng làm bài tập nhanh chóng, hiệu quả.

Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.  Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½  khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.

Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.

Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P.

Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC, Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau. Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Trực tâm O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm.

Trực tâm của tam giác đều.

Tóm gọn lại, tính chất của trực tâm tam giác như sau:

• Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện  BC, AC, AB tương ứng.
• Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại  một điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Cách xác định trực tâm của một tam giác.

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi. Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.

Bài 1: Cho hình sau đây

1. Chứng minh NS⊥LM
2. Khi LNPˆ=50∘, hãy tính góc MSP và góc PSQ

Cách giải:

1. Trong ΔNML có :

LP⊥MN nên LP là đường cao

MQ⊥NL nên MQ là đường cao

mà PL∩MQ={S}

suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thằng SN chứa đường cao từ N hay NS⊥LM

    2. ΔNMQ vuông tại Q có:

LNPˆ=50∘ nên:

QMNˆ=40∘

ΔMPS vuông tại Q có:

QMNˆ=40∘ nên:

MSPˆ=50∘

Suy ra

PSQˆ=130∘ (kề bù)

Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Cách giải:

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E

ΔHBC có:

HN⊥BC nên HN là đường cao

BE⊥HC nên BE là đường cao

CM⊥BH nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của ΔHBC

Bài 3: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Cách giải:

Vẽ đường kính BB1

Vì AB1∥HC

AH∥B1C

⇒AHCB1 là hình bình hành

⇒AH→=B1C→

B, C cố định nên B1C→ không đổi.

Như vậy, H=TB1C→(A)

Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn C′(O′,R′), chính là ảnh của đường tròn C(O,R) qua phép tịnh tiến TB1C→.

Bài 4: Cho  △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

1. Chứng minh: IJ⊥EF
2. Chứng minh: IE⊥JE

Cách giải:

1. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

FI=1/2AH=EI

FJ=1/2BC=EJ

Vậy IJ là đường trung trực của EF

⇒IJ⊥EF

     2.

Ta có:

E1ˆ=H1ˆ=ECJˆ

H1ˆ=ECJˆ (cùng phụ góc EAH)

Vậy E1ˆ=E3ˆ

IEJˆ=E1ˆ+E2ˆ=E3ˆ+E2ˆ=90∘

⇒IE⊥JE

Trực tâm của tam giác xuất hiện rất nhiều trong hình học không gian như tìm trực tâm trong không gian. Chúng ta có bài tập sau.

Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC tọa độ có A(-2;6), B (-2;9); C (9;8). Hãy tìm trực tâm của tam giác trong không gian xyz.

Lời giải:

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

Giải (h.20.4)

* Tìm cách giải.

Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Xét tam giác ABN có BO là đường phân giác góc B nên để chứng minh BO là đường trung trực của AN thì chỉ cần chứng minh tam giác ABN là tam giác cân tại B.

* Trình bày lời giải.

Ta có góc BAN cộng góc CAn bằng 90 độ vì góc BAC bằng 90 độ (1)

góc BAN cộng góc NHA bằng 90 độ vì góc H bằng 90 độ (2)

Mặt khác góc CAN bằng góc NAH nên từ (1) và (2) suy ra góc BAN bằng góc BNA do đó tam giác BAN cân tại B

Xét tam giác ABN cân tại B có BO là đường phân giác của góc B nên BO cũng là đường trung trực của cạnh AN

Chứng minh tương tự ta được CO là đường trung trực của cạnh AM.

Xét tam giác AMN có O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AN và AM nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp  tam giác AMN.

Video về trực tâm là gì?

Kết luận

Trên đây, trường Mầm Non Ánh Dương đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề tính chất trực tâm trong tam giác. Hy vọng những kiến thức trên hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề tính chất trực tâm, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé! Nếu hay đừng quên share nha!

trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định

Trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian đều là những kiến thức hình học cơ bản ta đã được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên nhiều năm trôi qua có rất ít người có thể nhớ một cách chính xác trực tâm là gì? Cách xác định ra sao? Vậy trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm như thế nào? Mời quý đọc giả theo dõi bài viết sau đây để biết câu trả lời. Trực tâm là gì? Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác. Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó. Giả sử cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Gọi S là là giao điểm của ba đường cao trên thì S là trực tâm của tam giác LMN. Trực tâm của tam giác LMN. Trực tâm của tam giác LMN. Đường cao của một tam giác là gì? Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao. tính chất trực tâm và định nghĩa về đường cao Đường cao AH của tam giác ABC Tính chất của trực tâm trong tam giác Trực tâm tam giác có nhiều định lý, tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, bạn cần nắm rõ các định lý, tính chất này để vận dụng làm bài tập nhanh chóng, hiệu quả. Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó. Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó. Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC. Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh. Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P. Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC, Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau. Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Trực tâm O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm. Trực tâm của tam giác đều. Trực tâm của tam giác đều. Tóm gọn lại, tính chất của trực tâm tam giác như sau: Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó. Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân. Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân. Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện BC, AC, AB tương ứng. Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại một điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng. Cách xác định trực tâm của một tam giác. Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi. Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ. Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông. Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm tam giác Xác định trực tâm tam giác Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác Để chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác thì ta cần sử dụng định nghĩa và tính chất trọng tâm, trực tâm trong tam giác. Giả sử ta cần chứng minh G là trọng tâm, H là trực tâm của ΔABC. Ta có: Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách: – Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác. – Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC Để chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta: Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác. Bài tập áp dụng. Bài 1: Cho hình sau đây bài tập tính chất trực tâm Chứng minh NS⊥LM Khi LNPˆ=50∘, hãy tính góc MSP và góc PSQ Cách giải: Trong ΔNML có : LP⊥MN nên LP là đường cao MQ⊥NL nên MQ là đường cao mà PL∩MQ={S} suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thằng SN chứa đường cao từ N hay NS⊥LM 2. ΔNMQ vuông tại Q có: LNPˆ=50∘ nên: QMNˆ=40∘ ΔMPS vuông tại Q có: QMNˆ=40∘ nên: MSPˆ=50∘ Suy ra PSQˆ=130∘ (kề bù) Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó. Cách giải: Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E ΔHBC có: HN⊥BC nên HN là đường cao BE⊥HC nên BE là đường cao CM⊥BH nên CM là đường cao Vậy A là trực tâm của ΔHBC Bài 3: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC. Cách giải: tính chất trực tâm và các dạng toán điển hình Vẽ đường kính BB1 Vì AB1∥HC AH∥B1C ⇒AHCB1 là hình bình hành ⇒AH→=B1C→ B, C cố định nên B1C→ không đổi. Như vậy, H=TB1C→(A) Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn C′(O′,R′), chính là ảnh của đường tròn C(O,R) qua phép tịnh tiến TB1C→. Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Chứng minh: IJ⊥EF Chứng minh: IE⊥JE Cách giải: ví dụ về tính chất trực tâm trong tam giác Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có: FI=1/2AH=EI FJ=1/2BC=EJ Vậy IJ là đường trung trực của EF ⇒IJ⊥EF 2. tính chất trực tâm và các dạng toán liên quan Ta có: E1ˆ=H1ˆ=ECJˆ H1ˆ=ECJˆ (cùng phụ góc EAH) Vậy E1ˆ=E3ˆ IEJˆ=E1ˆ+E2ˆ=E3ˆ+E2ˆ=90∘ ⇒IE⊥JE Trực tâm của tam giác xuất hiện rất nhiều trong hình học không gian như tìm trực tâm trong không gian. Chúng ta có bài tập sau. Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC tọa độ có A(-2;6), B (-2;9); C (9;8). Hãy tìm trực tâm của tam giác trong không gian xyz. Lời giải: Cách tìm tọa độ của trực tâm tam giác trong không gian. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Giải (h.20.4) Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác (ảnh 5) * Tìm cách giải. Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh AM và AN. Xét tam giác ABN có BO là đường phân giác góc B nên để chứng minh BO là đường trung trực của AN thì chỉ cần chứng minh tam giác ABN là tam giác cân tại B. * Trình bày lời giải. Ta có góc BAN cộng góc CAn bằng 90 độ vì góc BAC bằng 90 độ (1) góc BAN cộng góc NHA bằng 90 độ vì góc H bằng 90 độ (2) Mặt khác góc CAN bằng góc NAH nên từ (1) và (2) suy ra góc BAN bằng góc BNA do đó tam giác BAN cân tại B Xét tam giác ABN cân tại B có BO là đường phân giác của góc B nên BO cũng là đường trung trực của cạnh AN Chứng minh tương tự ta được CO là đường trung trực của cạnh AM. Xét tam giác AMN có O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AN và AM nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Video về trực tâm là gì? Kết luận Trên đây, trường Mầm Non Ánh Dương đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề tính chất trực tâm trong tam giác. Hy vọng những kiến thức trên hữu ích với bạn trong quá trình học tập. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề tính chất trực tâm, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé! Nếu hay đừng quên share nha!

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục