Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên là một trong nhưng dạng toán lớp 9 xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi sự biến đổi linh hoạt và vận dụng cao năm vững kiến thức về ước và bội của số nguyên ở các lớp trước.

Bài viết này các em hãy cùng Mầm Non Ánh Dươngtìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.

This post: Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng: $small A=f(x)+frac{k}{g(x)}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì $small frac{k}{g(x)}$ phải có giá trị nguyên hay dpi{100} small kvdots g(x) tức là g(x) thuộc tập ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: $dpi{100} small A=frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}$

* Lời giải:

– Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.

Ta có: $small A=frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}=frac{sqrt{x}+2+2}{sqrt{x}+2}$ $small =1+frac{2}{sqrt{x}+2}$

Để A nhận giá trị nguyên thì $small frac{2}{sqrt{x}+2}$ nguyên (tức $small frac{2}{sqrt{x}+2}in mathbb{Z}$ )

small Leftrightarrow ({sqrt{x}+2})in U(2)= left { +2;-2 right }

– TH1: small sqrt{x}+2=-2Rightarrow sqrt{x}=-4 (loại)

– TH2: small sqrt{x}+2=2Rightarrow sqrt{x}=0Rightarrow x=0 (thỏa)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$small P=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-3}$

* Lời giải:

Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.

Điều kiện xác định: small left{begin{matrix} xgeq 0 sqrt{x}-3neq 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq 0 xneq 9 end{matrix}right.

Ta có: $small P=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-3}=frac{sqrt{x}-3+5}{sqrt{x}-3}=1+frac{5}{sqrt{x}-3}$

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi $small frac{5}{sqrt{x}-3}$ có giá trị nguyên:

small Rightarrow sqrt{x}-3in U(5)=left { -1;1;-5;5 right }

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc small sqrt{x} là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $small frac{5}{sqrt{x}-3}$ là số nguyên thì small sqrt{x} phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)

⇒ small small sqrt{x}-3 là ước tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp như sau:

– TH1: small sqrt{x}-3=1Rightarrow sqrt{x}=4Rightarrow x=16 (thỏa)

– TH2: small sqrt{x}-3=-1Rightarrow sqrt{x}=2Rightarrow x=4 (thỏa)

– TH3: small sqrt{x}-3=5Rightarrow sqrt{x}=8Rightarrow x=64 (thỏa)

– TH4: small sqrt{x}-3=-5Rightarrow sqrt{x}=-2 (loại)

Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$small B=frac{x^2+x-2}{x+1}$

* Lời giải:

– Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Ta có: $small B=frac{x^2+x-2}{x+1}$ $small =frac{x(x+1)-2}{x+1}=x-frac{2}{x+1}$

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì $small x-frac{2}{x+1}in mathbb{Z}Leftrightarrow frac{2}{x+1}in mathbb{Z}$

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}

– TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2

– TH1: x + 1 = 1 ⇒ x = 0

– TH1: x + 1 = -2 ⇒ x = -3

– TH1: x + 1 = 2 ⇒ x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên

* Lời giải:

– Ta có: $small P=frac{x+3}{x-2}=frac{(x-2)+5}{x-2}=1+frac{5}{x-2}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $small frac{5}{x-2}$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}

– TH1: x – 2 = -1 ⇒ x = 1

– TH2: x – 2 = 1 ⇒ x = 3

– TH3: x – 2 = -5 ⇒ x = -3

– TH4: x – 2 = 5 ⇒ x = 7

Vậy P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

$small A=frac{x^2-x+2}{x-3}$

* Lời giải:

– Ta có: $small A=frac{x^2-x+2}{x-3}$

$small =frac{x(x-3)}{x-3}+frac{2(x-3)}{x-3}+frac{8}{x-3}$ $small =x+2+frac{8}{x-3}$

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì $small frac{8}{x-3}$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 3) là ước của 8: (x – 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}

– TH1: x – 3 = -1 ⇒ x = 2

– TH2: x – 3 = 1 ⇒ x = 4

– TH3: x – 3 = -2 ⇒ x = 1

– TH4: x – 3 = 2 ⇒ x = 5

– TH5: x – 3 = -4 ⇒ x = -1

– TH6: x – 3 = 4 ⇒ x = 7

– TH7: x – 3 = -8 ⇒ x = -5

– TH8: x – 3 = 8 ⇒ x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

$small Q=frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}$

* Lời giải:

– Điều kiện x ≥ 0.

– Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0

– Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho small sqrt{x}

Ta được: $small frac{2}{sqrt{x}-1+frac{1}{sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:

$small sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}geq 2.sqrt[4]{x}.frac{1}{sqrt[4]{x}}=2$

$small Rightarrow sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1geq 2-1$

$Rightarrow sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1geq 1>0$

$small Rightarrow 0<frac{1}{sqrt{x}-1+frac{1}{sqrt{x}}}leq frac{1}{1}$ (nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)

$small Rightarrow0< frac{2}{sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1}leq 2$ hay 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

– Với Q = 1, ta có: $small frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}=1$

small Leftrightarrow x-3sqrt{x}+1=0 (*)

Đặt small sqrt{x}=tgeq 0 phương trình (*) trở thành

t² – 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được: $small t=frac{3pm sqrt{5}}{2}Rightarrow sqrt{x}=frac{3pm sqrt{5}}{2}$

$small Rightarrow x=frac{7pm 3sqrt{5}}{2}: (t.m)$

– Với Q = 2, ta có: $small frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}=2$

small Leftrightarrow 2x-2sqrt{x}+2=2sqrt{x}

small Leftrightarrow 2x-4sqrt{x}+2=0

$small Leftrightarrow 2(sqrt{x}-1)^2=0$

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi $small xin left { 0;1;frac{7-3sqrt{5}}{2} ;frac{7+3sqrt{5}}{2}right }$

C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên

* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$small a): A=frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}-1}$

$small b): B=frac{sqrt{x}+3}{2-sqrt{x}}$

* Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$small a): P=frac{x^2+3x+3}{2x-1}$

$small b): Q=frac{x^2-4x-17}{x+2}$

Hy vọng với bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để thầy cô trường THPT Sóc Trăng ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục