Định lý Menelaus trong không gian và cách ứng dụng vào giải toán

Định lý Menelaus học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 9 và lên lớp 11 tìm hiểu sâu hơn. Đây là một trong những phần kiến thức Hình học vô cùng quan trọng, có nhiều trong các dề thi. Nhằm giúp các bạn nắm chắc hơn chuyên đề này và cách ứng dụng định lý Menelaus vào giải toán, Zicxabook.com đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. Định lý Menelaus là gì?

This post: Định lý Menelaus trong không gian và cách ứng dụng vào giải toán

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

${displaystyle {frac {overline {FA}}{overline {FB}}}cdot {frac {overline {DB}}{overline {DC}}}cdot {frac {overline {EC}}{overline {EA}}}=1.}$

btprztaxmvumdfblpycvsxmfob2bwqsek2pcalg8-1-2

Ở đây ta nhận thấy rằng : Nếu giả sử DBDC.ECEA.FAFB=1 thì tùy vào số điểm nằm trên cạnh , đường thẳng chứa cạnh của tam giác màât có định lý Ceva hay Menelaus.

Nếu cả 3 điểm D,E,F nằm trên ba cạnh của tam giác ABC thì ta có định lý Ceva.
Nếu có 2 điểm nằm trên cạnh và 1 điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh nhưng nằm ngoài tam giác ABC thì ta có định lý Menelaus.
Nếu có 1 điểm nằm trên cạnh và 2 điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh nhưng nằm ngoài tam giác ABC thì ta có định lý Ceva.
Nếu cả 3 điểm D,E,F nằm trên ba đường thẳng chứa cạnh và nằm ngoài tam giác ABC thì ta có định lý Menelaus.

II. Chứng minh định lí Menelaus

1. Phần thuận

Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
${displaystyle {frac {DB}{DC}}={frac {FB}{CG}}}$ (1) và ${displaystyle {frac {EC}{EA}}={frac {CG}{FA}}}$ (2)
Nhân (1) và (2) và vế theo vế
${displaystyle {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}={frac {FB}{FA}}}$
Từ đó suy ra
${displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$

2. Phần đảo

${displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$

. Khi đó gọi F’ là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có ${displaystyle {frac {F'A}{F'B}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}$
Kết hợp giả thuyết suy ra ${displaystyle {frac {FA}{FB}}={frac {F'A}{F'B}}}$
Hay ${displaystyle {frac {FA}{F'A}}={frac {FB}{F'B}}={frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={frac {AB}{AB}}=1}$
Nên F’A = FA và F’B = FB
Suy ra F’ trùng với F.
Vậy định lý đã được chứng minh.

3. Ví dụ

Cho tam giác ABC và ba điểm D,E,F nằm trên BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại Q sao cho Q thuộc nửa mặt phẳng bờ AD chứa B . Chứng minh rằng QBQC=DBDC

Cách giải:

kiến thức định lý ceva

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với AD,BE,CF đồng quy ta có:

DBDC.ECEA.FAFB=1

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với E,F,Q thẳng hàng ta có:

QBQC.ECEA.FAFB=1

Từ đó ⇒DBDC=QBQC

III. Ứng dụng định lý Menelaus trong giải toán

Bài 1: Cho tam giác ABC và ba điểm E,F,M thứ tự trên các cạnh AC,BC,AB sao cho EF||BC và MB=MC. Chứng minh rằng CF,BE,AM đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh rằng AK,BG,CE đồng quy.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. Gọi X,Y,Z là ba điểm bất kì nằm trên BC,CA,AB sao cho AX,BY,CZ đồng quy.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm AX,BY,CZ. Chứng minh rằng MD,NE,PF đồng quy.

Bài 4: Cho tam giác ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi D′,E′,F′ lần lượt là điểm đối xứng của D,E,F qua I. Chứng minh AD′,BE′,CF′ đồng quy.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Đường tròn (O) cắt cạnh BC tại X,Y; cắt cạnh CA tại Z,T; cắt cạnh AB tại U,V sao cho XYZTUV là các đỉnh của một lục giác lồi. Lấy các giao điểm XT∩YU=A′;ZV∩TX=B′;UY∩VZ=C′. Chứng minh rằng AA′,BB′vàCC′ đồng quy.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu định lý Menelaus trong không gian và cách ứng dụng vào giải toán cực hay. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu quý giúp bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm định lí Viet và cách ứng dụng cực hay bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)