Cực trị của hàm số là gì? Công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh

Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 xuất hiện nhiều trong các đề thi quan trong. Bài viết hôm nay, Mầm Non Ánh Dương sẽ giới thiệu đến các bạn chuyên đề về cực trị hàm số bậc 3 và công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh. Bạn tìm hiểu nhé !

I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA LÀ GÌ ?

This post: Cực trị của hàm số là gì? Công thức tính cực trị hàm số bậc ba cực nhanh

cau-1-0-cuc-tri-ham-bac-3-trang-mon-4

II. CÔNG THỨC TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA CỰC HAY

Bước 1:
Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax²+ 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax² +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)

Bước 2:
Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Một số điều kiện của bài toán thường gặp:
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆ ý(∆’) > 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> y_CD.y _CT < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> x_CD.x _CT< 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=>
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=>

– Để hàm số y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> y _CD.y_CT= 0
– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
Gọi M₁ (x₁ ; y₁) và M₂ (x₂; y₂) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Ta có t₁ và t₂ là giá trị của các điểm cực trị M₁, M₂ khi ta thay vào đường thẳng d.
t₁ = Ax₁+ By₁ + C
t₂ = Ax₂+ By₂ + C
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3
có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂
Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA

Dạng 1: Tìm m để hàm số y=f(x)y=f(x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0x0

Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau:

Nếu $left{ begin{array}{l}f'({x_0}) = 0f$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$ .
Nếu $left{ begin{array}{l}f'({x_0}) = 0f$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$ .

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số $y = {textstyle{1 over 3}}{x^3} + left( {{m^2} - m + 2} right){x^2} + left( {3{m^2} + 1} right)x + m - 5$ đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

$y'left( x right) = {x^2} + 2left( {{m^2} - m + 2} right)x + 3{m^2} + 1 Rightarrow y''left( x right) = 2x + 2left( {{m^2} - m + 2} right)$

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là $y'left( { - 2} right) = 0$ :

$Leftrightarrow - {m^2} + 4m - 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 1m = 3end{array} right.$

Với $m = 3$ thì $yleft( { - 2} right) = 8 data-recalc-dims=$ 0″ /> nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$ . Vậy $m = 3$ thỏa yêu cầu

Với $m = 1$ thì $y = frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x - 4$ . Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên $m = 1$ không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Lưu ý: Với $m = 1$ thì $yleft( { - 2} right) = 0$ nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên.

Dạng 2: Tìm m để hàm số $y = f(x)$ có cực trị hoặc không có cực trị.

Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính:

1. Hàm số bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,left( {a ne 0} right)$

Hàm số không có cực trị $Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép $Leftrightarrow$ $Deltale 0$ .
Hàm số có hai cực trị $Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow$ $Delta data-recalc-dims=$

2. Hàm số bậc 4 trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c,left( {a ne 0} right)$

Hàm số có 1 cực trị $Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có một nghiệm duy nhất $Leftrightarrow$ a.b>0.
Hàm số có 3 cực trị $Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm $Leftrightarrow$ a.b<0.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9x - m$ , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 9.$

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

$Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$Leftrightarrow Delta ' = {(m + 1)^2} - 3 data-recalc-dims=$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f(x) = m{x^3} + 3m{x^2} - left( {m - 1} right)x - 1$ , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

Giải

Với m = 0 $Rightarrow y = x - 1$ $Rightarrow$ nên hàm số không có cực trị.

Với $m ne 0 Rightarrow y' = 3m{x^2} + 6mx - left( {m - 1} right)$

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$Leftrightarrow Delta ' = 9{m^2} + 3mleft( {m - 1} right) = 12{m^2} - 3m le 0 Leftrightarrow 0 le m le frac{1}{4}$

Vậy với $0 le m le frac{1}{4}$ thì hàm số không có cực trị.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu.

Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số…

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1,,left( {{C_m}} right)$ . Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4xleft( {{x^2} - {m^2}} right)$

$y' = 0 Leftrightarrow 4xleft( {{x^2} - {m^2}} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0{x^2} = {m^2} (*)end{array} right.$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

$Leftrightarrow$ Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o $Leftrightarrow$ $m ne 0$

Vậy với $m ne 0$ thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với $m ne 0$ thì $y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow y = 1x = m Rightarrow y = 1 - {m^4}x = - m Rightarrow y = 1 - {m^4}end{array} right.$

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: $Aleft( {0;1} right);Bleft( { - m;1 - {m^4}} right);Cleft( {m;1 - {m^4}} right)$

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC

−−→AB.−−→AC=0AB→.AC→=0

<=> m = 0 (loại) hoặc m =-1; m= 1 ( thỏa mãn)

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu công thức tính cực trị hàm số bậc ba và nhiều dạng bài tập liên quan. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ tại đường link này nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục