Cập nhật bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết

Bài viết hôm nay, Mầm Non Ánh Dương sẽ cập nhật bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết nhất và cách ứng dụng công thức vào bài tập cho bạn làm tư liệu cần thiết để giải các bài toán. Bộ tài liệu này sẽ giúp bạn củng cố công thức logarit, đạo hàm logarit, …giúp bạn dạy và học tốt hơn. Cùng tìm hiểu bạn nhé !

I. ĐỊNH NGHĨA LOGARIT

This post: Cập nhật bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab. Ta viết: α = log_ab = a ⇔ a^α = b

Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có:

log_aa = 1, log_a1 = 0

cong-thuc-logarit-1-3 , log_a(a^α)=α

1. Logarit của một tích

Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

log_a(b₁b₂) = log_ab₁ + log_ab₂

Logarit của một thương: Cho 3 số a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

cong-thuc-logarit-2-3

Đặc biệt: với a, b > 0, a ≠ 1, cong-thuc-logarit-3-3

2. Logarit của lũy thừa

Cho a, b > 0, a ≠ 1, với mọi α, ta có

log_ab^α = α log_ab

Đặc biệt: cong-thuc-logarit-4-3

3. Công thức đổi cơ số

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có:

cong-thuc-logarit-5-3

Đặc biệt: cong-thuc-logarit-6-3 và cong-thuc-logarit-7-3 với α ≠ 0

4. Logarit thập phân và Logarit tự nhiên

Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết : log₁₀b = log b = lg b

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết : log_e b = ln b

II. BẢNG CÔNG THỨC LOGARIT ĐẦY ĐỦ, CHI TIẾT NHẤT

Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn bảng công thức Logarit đầy đủ nhất từ cơ bản đến mở rộng để bạn làm tư liệu nhé !

1. Bảng công thức Logarit đầy đủ, cơ bản

Với $x,y>0$

${{log }_{a}}1=0,{{log }_{a}}a=1$	$begin{align} & {{log }_{{{m}^{alpha }}}}x=frac{1}{alpha }{{log }_{m}}x & {{log }_{{{m}^{alpha }}}}{{x}^{beta }}=frac{beta }{alpha }{{log }_{m}}x end{align}$
${{log }_{a}}left( frac{x}{y} right)=-{{log }_{a}}left( frac{y}{x} right)$	${{log }_{a}}left( x.y right)={{log }_{a}}x+{{log }_{a}}y$
${{log }_{a}}{{a}^{m}}=m$	$lg a=log a={{log }_{10}}a$
$begin{align} & {{log }_{a}}{{x}^{beta }}=beta {{log }_{a}}x & {{log }_{a}}{{x}^{2}}=2{{log }_{a}}left\| x right\| end{align}$	$begin{align} & {{log }_{a}}left( frac{x}{y} right)={{log }_{a}}x-{{log }_{a}}y & {{log }_{a}}left( frac{1}{y} right)=-{{log }_{a}}y end{align}$
${{a}^{{{log }_{a}}b}}=b$	$ln a={{log }_{e}},e=2,718...$

2. Công thức đạo hàm Logarit

Đạo hàm hàm sơ cấp	Đạo hàm hàm hợp
$left( {{x}^{alpha }} right)'=alpha .{{x}^{alpha -1}}$	$left( {{u}^{alpha }} right)'=alpha .{{u}^{alpha -1}}.u'$
$left( {{e}^{x}} right)'={{e}^{x}}$	$left( {{e}^{u}} right)'={{e}^{u}}.u'$
$left( {{a}^{x}} right)'={{a}^{x}}.ln a$	$left( {{a}^{u}} right)'={{a}^{u}}.u'.ln u$
$left( ln x right)'=frac{1}{x}$	$left( ln u right)'=frac{u'}{u}$
$left( {{log }_{a}}x right)'=frac{1}{x.ln a}$	$left( {{log }_{a}}u right)'=frac{u'}{u.ln a}$

3. Công thức Logarit Nepe

$ln a={{log }_{e}}a,e=2,718...$	$left( ln x right)'=frac{1}{x}$
$left( {{a}^{x}} right)'={{a}^{x}}.ln a$	$left( {{a}^{u}} right)'={{a}^{u}}.u'.ln u$
$left( ln x right)'=frac{1}{x}$	$left( ln u right)'=frac{u'}{u}$

4. Công thức mũ Logarit

${{a}^{n}}=underbrace{a.a.a....a}_{n}$	${{left( frac{a}{b} right)}^{n}}=frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$
${{a}^{0}}=1,forall ane 0$	${{left( {{a}^{m}} right)}^{n}}={{a}^{m.n}}={{left( {{a}^{m}} right)}^{n}}$
${{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}$	$sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}}={{a}^{frac{m}{n}}}$
${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$	$sqrt[n]{sqrt[k]{a}}=sqrt[nk]{a}$
$frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$	${{a}^{frac{-m}{n}}}=frac{1}{{{a}^{frac{m}{n}}}}=frac{1}{sqrt[n]{{{a}^{m}}}}$
${{left( a.b right)}^{n}}={{a}^{n}}.{{b}^{n}}$	$sqrt[n]{{{a}^{m}}}=left{ begin{matrix} a,n=2k+1 left\| a right\|,n=2k end{matrix} right.$

III. CÁCH SỬ DỤNG BẢNG LOGARIT

Với bảng logarit, bạn sẽ tính toán nhanh hơn rất nhiều so với máy tính, đặc biệt khi muốn tính toán nhanh hoặc nhân số lớn, sử dụng logarit thuận tiện hơn cả.

1. Cách tìm Logarit nhanh

Để tìm logarit nhanh, bạn cần chú ý các thông tin sau đây:

Chọn bảng đúng: Hầu hết các bảng logarit là cho logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân.
Tìm ô đúng: Giá trị của ô tại các giao điểm của hàng dọc và hàng ngang.
Tìm số chính xác nhất bằng cách sử dụng các cột nhỏ hơn ở phía bên phải của bảng. Sử dụng cách này trong trường hợp số có 4 hoặc nhiều hơn.
Tìm tiền tố trước một số thập phân: Bảng logarit cho bạn biết tiền tố trước một số thập phân. Phần sau dấu phẩy gọi là mantissa.
Tìm phần nguyên. Cách này dễ tìm nhất đối với logarit cơ số 10. Bạn tìm bằng cách đếm các chữ số còn lại của số thập phân và trừ đi một chữ số.

2. Cách tìm Logarit nâng cao

Muốn giải những phương trình logarit nâng cao, bạn cần lưu ý những điều sau đây:

Hiểu logarit là gì? Ví dụ, $10^2$ là 100, $10^3$ là 1000. Như vậy số mũ 2,3 là logarit cơ số 10 của 100 và 1000. Mỗi bảng logarit chỉ có thể sử dụng được với một cơ số nhất định. Cho đến nay, loại bảng logarit phổ biến nhất là logarit cơ số 10, còn gọi là logarit phổ thông.
Xác định đặc tính của số mà bạn muốn tìm logarit
Khi tra bảng logarit, bạn nên dùng ngón tay cẩn thận tra hàng dọc ngoài cùng bên trái để tính logarit trong bảng. Sau đó, bạn trượt ngón tay để tra điểm giao giữa hàng dọc và hàng ngang.
Nếu bảng logarit có một bảng phụ nhỏ dùng để tính toán phép tính lớn hay muốn tìm giá trị chính xác hơn, bạn trượt tay đến cột trong bảng đó được đánh dấu bằng chữ số tiếp theo của số bạn đang tìm kiếm.
Thêm các số được tìm thấy trong 2 bước trước đó với nhau.
Thêm đặc tính: Khi tra ra điểm giao của hai hàng ra số cần tìm, bạn thêm đặc tính với mantissa ở trên để có kết quả tính logarit của mình.

IV. MẸO NHỚ NHANH CÁC CÔNG THỨC LOGARIT

Để nắm chắc kiến thức liên quan đến Logarit, các bạn có thể áp dụng 6 phương pháp sau đây:

Nắm vững kiến thức nền tảng về Logarit, tham khảo tại Logarit đầy đủ và chi tiết nhất và bảng tổng hợp các công thức Logarit cơ bản
Vì số lượng công thức nhiều như vậy, thì các bạn có thể sử dụng giấy nhớ để ghi lại các công thức và dán tại những vị trí trong nhà mà mình hay lui tới, đặc biệt là bàn học.
Một cách phổ biến hơn là luyện tập, làm đi làm lại các bài tập trên lớp và làm thêm các bài tập trong sách tham khảo để nắm chắc kiến thức hơn, xem thêm các bài giải liên quan đến Logarit trong chương trình giải tích lớp 12 mà chúng tôi tổng hợp được tại:

Học nhóm và tham khảo ý kiến thầy cô sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các kiến thức cơ bản và nâng cao của dạng bài tập.
Tham khảo các video, bài giảng qua các trang mạng liên quan đến học tập.
Cuối cùng đừng quên bổ sung thêm kiến thức về các phần học khác để bổ trợ cho quá trình làm bài nhé.

V. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT GIẢI BÀI TẬP

Bạn có thể ứng dụng công thức Logarit để giải các dạng toán sau đây:

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Ghi nhớ

Biểu thức log_a f(x) xác định cong-thuc-logarit-8-3

Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình Aⁿ > 0 cần nhớ:

n là số tự nhiên lẻ thì Aⁿ > 0 ⇔ A > 0.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức B = ln (4 – x²) xác định?

A x ∈ [-2; 2]

B x ∈ (-2; 2)

C x ∈ ℝ [-2; 2]

D x ∈ ℝ (-2; 2)

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định: 4 – x² > 0 ⇔ -2 < x < 2

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

A x ∈ (2; +∞)

B x ∈ [0; +∞)

C x ∈ [0; +∞) {2}

D x ∈ (0; +∞) {2}

Lời giải

Chọn C

Biểu thức A xác định cong-thuc-logarit-14-3

Vậy x ∈ [0; +∞) {2}

Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

A cong-thuc-logarit-9-3

B x ∈ (0; 2)

C cong-thuc-logarit-16-3

D cong-thuc-logarit-16-3 {1}

Lời giải

Chọn D

Biểu thức D xác định cong-thuc-logarit-17-3

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ta được

A P = a³b^-2

B P = a³b

C P = a²b³

D P = ab²

Lời giải

Chọn A

cong-thuc-logarit-24-3

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2, b = 5 ta được cong-thuc-logarit-25-3 và thay a = 2, b = 5 vào 4 đáp án để so sánh.

Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức cong-thuc-logarit-28-3 nằm trong khoảng nào sau đây?

A (2; 5)

B (0;1)

C (1; 3)

D (2; 3)

Lời giải

Chọn A

cong-thuc-logarit-29-3

HS có thể sử dụng MTCT: Gán a = 2 . Tính cong-thuc-logarit-28-3 và thay a = 2 vào 4 đáp án để so sánh.

Ví dụ 3: Cho a = log₂5. Ta phân tích được cong-thuc-logarit-26-3 (m, n, k ∈ ℤ). Tính m² + n² + k²?

A 13

B 10

C 22

D 14

Lời giải

Chọn C

Ta có: cong-thuc-logarit-27-3

cong-thuc-logarit-27a-3

⇒ m = n = 3, k = 2 ⇒ m² + n² + k² = 22

Dạng 3: Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết

Ghi nhớ

Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Bài toán minh hoạ: Cho log₂3 = a, log₂5 = b. Biểu diễn log₃20 theo a, b .

A cong-thuc-logarit-46-3

B cong-thuc-logarit-47-3

C cong-thuc-logarit-48-3

D cong-thuc-logarit-49-3

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

Ta có: log₃20 = log₃(2²․5) = 2 log₃2 + log₃5

cong-thuc-logarit-50-3

Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log₂3 và log₂ vào các biến A, B và C trong máy tính)

bam-may-cong-thuc-logarit-1-5

Bước 2: (Thử đáp án)

bam-may-cong-thuc-logarit-2-1

Ví dụ: Giả sử đặt log₁₂6 = a, log₁₂7 = b. Hãy biểu diễn log₂7 theo a và b.

A cong-thuc-logarit-57-3

B cong-thuc-logarit-58-3

C cong-thuc-logarit-59-3

D cong-thuc-logarit-60-3

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có cong-thuc-logarit-61-3

cong-thuc-logarit-62-3

Vậy cong-thuc-logarit-63-3

Cách 2: Ta có cong-thuc-logarit-64-3

Vậy là các bạn vừa được chia sẻ bảng công thức Logarit, công thức mũ đầy đủ, chi tiết cùng nhiều thông tin hữu ích khác. Hi vọng, bài viết đã cung cấp cho bạn thêm nguồn tư liệu thiết yếu phục vụ quá trình dạy và học tốt hơn. Xem thêm các công thức biến đổi lượng giác nữa bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục