Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Nhằm giúp quý thầy cô cũng như các bạn có thêm nguồn tài liệu phục vụ quá trình dạy và học, Mầm Non Ánh Dương đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÀ GÌ?

This post: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực nhanh

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0;left( {{a^2} + {b^2} ne 0} right)$ nhận $overrightarrow n = left( {a;b} right)$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $Aleft( {{x_0},{y_0}} right)$ nhận $overrightarrow u (a,b)$ làm vecto chỉ phương, Ta có:

$Bleft( {x,y} right) in d Leftrightarrow overrightarrow {AB} = toverrightarrow u Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_0} = at} {y - {y_0} = bt} end{array}} right.$

$Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} {y = {y_0} + bt} end{array}} right.;left( {{a^2} + {b^2} ne 0,t in mathbb{R}} right)$

– Đường thẳng d đi qua điểm $Aleft( {{x_0},{y_0}} right)$ , nhận $overrightarrow u (a,b)$ là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là $frac{{x - {x_0}}}{a} = frac{{y - {y_0}}}{b}$ với $(a,b ne 0)$

II. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Sau đây chúng tôi sẽ liệt kê các bước viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm một cách tổng quát nhất:

Bước 1: Gọi tỏng quát đường thẳng có dạng y = ax+b (a khác 0)

Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng, ta được 2 phương trình.

Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm a và b

Bước 4: Viết phương trình tổng quát

Với nhiều bài toán dạng này, các bạn đều làm theo 4 bước chung ở trên, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số dạng đặc biệt cụ thể.

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc trục tọa độ

Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Ox⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Ox:y=0
Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Oy⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Oy:x=0
Nếu một điểm nằm trên Ox có tọa độ (a;0) và một điểm nằm trên Oy có tọa độ (0;b) thì phương trình đường thẳng là :
- x/a+y/b=1 Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

cách giải bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0;2) và B(3;0). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A;B nằm trên hai trục tọa độ nên ta sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn :

AB:x/3+y/2=1

⇔2x+3y−6=0

2. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Bài toán: Cho hàm số bậc ba y=f(x)=ax³+bx²+cx+d có 2 điểm cực trị A(x₁;y₁);B(x₂;y₂) . Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó ?

Với những bài toán hàm số f(x) đã biết thì ta dễ dàng tìm ra tọa độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

Với những bài toán mà hàm số f(x) có hệ số chứa tham số m thì ta sẽ làm như sau để viết được phương trình đường thẳng chứa tham số m của hai điểm cực trị :

Cách giải:

Bước 1: Tính đạo hàm y′=3ax²+2bx+c
Bước 2: Chia hàm số y cho y′ ta được:
- f(x)=Q(x).f′(x)+P(x) với P(x)=Ax+B là hàm số bậc nhất
Bước 3: Vì f′(x₁)=f′(x₂)=0 nên:
- {y₁=f(x₁)=Ax₁+By2=f(x₂)=Ax₂+B⇒ phương trình đường thẳng là y=Ax+B
- Từ các bước trên ta tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba y=f(x)=ax³+bx²+cx+d là :
- 2/3(c−b²/3a)x+(d−bc/9a)

viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị và lời giải

Ví dụ:

Cho hàm số y=2x³+3(m−1)x²+6(m–2)x–1. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1

Cách giải:

Ta có :y′=6x²+6(m−1)x+6(m−2)

Hàm số có hai cực trị ⇔Δ=(m−1)²−4(m−2)>0

⇔(m−3)²>0⇔m≠3

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng −4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

−4=2/3[6(m−2)−9(m−1)²/6]=4(m−2)−(m−1)²

⇔−(m−3)²=−4⇔[m=1 hoặc m=5]

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ, tung độ

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (a;y₁) và (a;y₂) có dạng : x=a
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (x₁;b) và (x₂;b) có dạng : y=b

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(7;2) và B(100;2). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A,B có cùng tung độ nên

⇒ phương trình đường thẳng AB:y=2

III. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} { - 4 = 5a + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( { - frac{3}{4}; - frac{1}{4}} right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = - frac{3}{4}x - frac{1}{4}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: $y = 0 Rightarrow x = - frac{1}{3} Rightarrow Aleft( { - frac{1}{3};0} right)$

$Rightarrow overrightarrow {OA} = left( { - frac{1}{3};0} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OA} } right| = frac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: $x = 0 Rightarrow y = - frac{1}{4} Rightarrow Bleft( {0; - frac{1}{4}} right)$

$Rightarrow overrightarrow {OB} = left( {0; - frac{1}{4}} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OB} } right| = frac{1}{4}$

$Rightarrow {S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB = frac{1}{2}.frac{1}{3}.frac{1}{4} = frac{1}{{24}}$

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b
⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Bài 2: Cho hàm số $y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x-1$ . Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1

Cách giải:

Ta có : $y^{prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2)$

Hàm số có hai cực trị $Leftrightarrow Delta=(m-1)^{2}-4(m-2)>0$

$Leftrightarrow(m-3)^{2}>0 Leftrightarrow m neq 3$

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

$-4=frac{2}{3}left[6(m-2)-frac{9(m-1)^{2}}{6}right]=4(m-2)-(m-1)^{2} Leftrightarrow-(m-3)^{2}=-4 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}m=1 m=5end{array}right.$

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát

$overrightarrow {AB} = left( {1,1} right)$

Phương trình tham số: $frac{{x - 1}}{1} = frac{{y - 2}}{1}$

$overrightarrow n = left( { - 1,1} right)$

Phương trình tổng quát:

$begin{matrix} - 1.left( {x - 1} right) + 1.left( {y - 2} right) = 0 hfill Rightarrow y = x + 1 hfill end{matrix}$

$overrightarrow {AB} = left( {1,1} right)$

Phương trình tham số: $frac{{x - 1}}{1} = frac{{y - 2}}{1}$

Gọi phương trình tổng quát là:

y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} {3 = a.2 + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( {1;1} right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = x + 1$

duong-thang-1-1

Bài 4: Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng:
a) Đi qua điểm A(4; 3), B(2;- 1)
b) Đi qua điểm A(1;- 1) và song song với Ox
Bài giải:
a). Phương trình đường thẳng (d) qua A(4; 3) và B(2;- 1) có dạng tổng quát là y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số cần xác định.
Vì A(4; 3) ∈ d nên ta có phương trình của (d), do đó ta có: 3 = a.4 + b.
Tương tự B(2;- 1) ∈ d nên ta có: – 1 = a.2 + b
Từ đó ta tìm được phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – 5.
Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – 5.
b). y = – 1.

Bài 5: Viết phương trình dạng y = ax + b của đường thẳng đi qua hai điểm M(-1;3) và N(1;2)
Bài giải:
Vì đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b nên ta cần xác định các hệ số a và b.
Đường thẳng đó đi qua M(-1;3) và N(1;2), tức là tọa độ M và N thỏa mãn phương trình y = ax + b.
Đường thẳng đi qua M(-1;3) và N(1;2) nên ta có:
-a + b = 3 và a + b = 2
Giải ra ta có : a=-1/2 ; b=5/2
Vậy phương trình đường thẳng là: y = (-1/2)x + 5/2

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
Ta có: vecto AB = (3 – 1; 4 – 2) = (2;2)
Chọn u(1;1) là VTCP của đt(d) (lấy như vậy để tinh gọn tính toán sau này).
vậy VTPT của (d) là n(-1;1).
– Phương trình tham số của (d): x = 1 + t ; y = 2 + t (t thuộc R).
– Phương trình tổng quát (d): (-1)(x-1) + 1(y-2) = 0 <=> x – y + 1 = 0.
– Phương trình chính tắc (d): (x-1)/(-1) = (y-2)/1.
– Phương trình theo hệ số góc:
Hệ số góc của đường thẳng (d) k = (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1.
Vậy phương trình đường thẳng(d): y = 1(x-1) + 2 <=> y = x+1.

Bài 7: Cho Parabol (P):y=–×² . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

Bài giải:

Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc (P) nên ta có tung độ y =−(1)²=–1 => A(1;−1)

Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc (P) nên ta có tung độ y =–(2)²=−4 ⇒ B(2;−4)

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: y=ax+b

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nê n ta có:

⇔ cach-giai-bai-toan-viet-phuong-trinh-di-qua-2-diem

Thay a=-3 và b=2 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y=−3x+2

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là: y=−3x+2

Chú ý: Hai điểm A và B có thể biết trước tọa độ hoặc chưa biết tọa độ ngay, chúng ta cần phải đi tìm tọa độ của chúng.

Vậy là quý thầy cô và các bạn học sinh vừa được chia sẻ cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm nhanh nhất. Hi vọng, đây là sẽ là nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách chứng minh hai vectơ vuông góc và bằng nhau tại đường link này nữa bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)