Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa nhanh, chính xác

Lý thuyết về đạo hàm của hàm số lũy thừa và cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa là phần kiến thức Toán 12 vô cùng quan trọng, có nhiều trong các loại đề thi. Nhằm giúp học sinh nắm chắc hơn mảng kiến thức này, Mầm Non Ánh Dươngbook.com đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA

This post: Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa nhanh, chính xác

1. Hàm số lũy thừa là gì?

Hàm số y = x^α với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x^α là:

• D = R nếu α là số nguyên dương.

• D = R {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

• D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số y = x^α có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = α.x^{α – 1}.

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).

y = x^α, α > 0	y = x^α, α < 0
a. Tập khảo sát: (0; +∝)	a. Tập khảo sát: (0; +∝)
b. Sự biến thiên + y’ = αx^{α – 1} > 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có	b. Sự biến thiên + y’ = αx^{α – 1} < 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có – Trục 0x là tiệm cận ngang – Trục 0y là tiệm cận đứng.
c. Bảng biến thiên	c. Bảng biến thiên

d. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm I(1; 1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x³, y = x^-2, y = x^π

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

Cho hàm số y = x^α có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = α.x^{α – 1}

Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y=u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và u^α(x))^/= α.u^{α – 1}(x).u^/(x)

III. BÀI TẬP VỀ CÁC DẠNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

Bài 2: Cho hàm số $y = - frac{1}{3}m{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} - mx + 3$ . Xác định giá trị của tham số m để:

a. y’ ≤ 0, ∀ x∈ $mathbb{R}$

b. y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

c. y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x₁²+ x₂² = 3.

Bài 3: Cho hàm số (C): y = mx⁴ + (m²– 9)x² + 10 (1) (m là tham số). Xác định giá trị của m để hàm số có y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho hàm số (C): y = x² – 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a. Tại điểm có hoành độ x₀ = 2

b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – y = 9

c. Vuông góc với đường thẳng 2x + 4y – 2011 = 0

d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0)

Bài 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

Đáp số:

a. $y' = frac{5}{2}{x^4} + frac{8}{3}{x^3} - 3{x^2} - 3x + 4$

b. $y' = - frac{1}{3} + 2x - 2{x^3}$

c. y’ = x³ – x² + x – 1

Bài 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

Đáp số:

a. y’ = 12x⁵ – 8x -15x⁴ + 6	b. y’ = 18x² + 2x – 2
c. $y' = frac{1}{{2sqrt x }} - frac{1}{{2xsqrt x }}$	d. y’ = -1/(x- 1)²
e. y’ = -6/(2x – 5)²	f. y’ = (x² – 2x -1)/(x – 1)²
g. y’=(8x³ – 8x² + 4x – 10)/(2x + 1)²	h. y’ = 1 + 2/(x + 1)²
i. y’ = (-5x² + 6x + 8)/(x² + x + 1)²	k. y’ = (-5x² + 6x + 8)/(x² – x + 1)²

Bài 7: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

Bài 8: Cho hàm số y = x³ – 3x² (C)

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1;-2)

b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.

Bài 9: Cho hàm số: $y = frac{{3x + 1}}{{x + 1}}$ (1). Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm sô (1) tại điểm M(-2; 5).

Bài 10: Cho hàm số (C): $y = frac{{2x}}{{x + 1}}$ . Tìm điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 2.

Bài 11:

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2x² + 5 tại điểm A(2;13).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2

d. Cho hàm số y = 3x³ + x² – 2 có đồ thị C. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0 là bao nhiêu?

e. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x³ – 3x + 1 tại điểm có hoành độ = 1 có hệ số góc là k bằng bao nhiêu? Tìm điểm cực tiểu của hàm số: y = -x² + 2x – 1?

Trên đây, Mầm Non Ánh Dương đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn lý thuyết về đạo hàm của hàm số lũy thừa và cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa nhanh chóng, chính xác. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu cần thiết giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách tính đạo hàm của hàm căn thức nữa bạn nhé !

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục