Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải – Toán lớp 7

Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải. Tỉ lệ thức, dãy tỉ lệ thức bằng nhau cũng có một số dạng toán hay trong nội dung kiến thức chương 1 Số hữu tỉ số thực của Toán lớp 7, một số dạng bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các phép toán tỉ lệ thức.

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về tỉ lệ thức, phương pháp giải các dạng toán này, sau đó vận dụng giải các bài tập từ cơ bản tới nâng cao để các em dễ dàng ghi nhớ.

This post: Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải – Toán lớp 7

I. Lý thuyết về Tỉ lệ thức

• Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ hoặc a:b = c:d (a, b, c, d ∈ Q; b, d ≠ 0).

* Ví dụ: Tỉ lệ thức $small frac{3}{4}=frac{6}{8}$ có thể được viết là: 3:4 = 6:8

– Các số: a, d là ngoại tỉ; b, c là trung tỉ

– Từ tỉ lệ thức: $small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ suy ra: a.d = c.b

– Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ $small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

– Từ tỉ lệ thức a/b = c/d suy ra các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

• Tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau:

– Từ tỉ lệ thức $small dpi{100} fn_cm small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ suy ra các tỷ lệ thức sau:

$small dpi{100} fn_cm small frac{a}{c}=frac{a+c}{b+d}=frac{a-c}{b-d};$ small (b eq pm d)

– Từ tỉ lệ thức $small frac{a}{b}=frac{c}{d}=frac{m}{n}$ suy ra các tỉ lệ thức sau:

$small frac{a}{b}=frac{a+c+m}{b+d+n}=frac{a-c+m}{b-d+n};$ small (b,d,j eq 0)

hayhochoivn dn15

II. Các dạng bài tập về Tỉ lệ thức

° Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ $small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

* Ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau đây rồi lập các tỉ lệ thức

small 28:14; $small 2frac{1}{2}:2;$ small 8:4; $small frac{1}{2}:frac{2}{3};$ small 3:10; small 2,1:7; small 3:0,3

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

small 28:14=2;

$small 2frac{1}{2}:2=frac{5}{2}:2=frac{5}{2}.frac{1}{2}=frac{5}{4}$

small 8:4=2;

$small frac{1}{2}:frac{2}{3}=frac{1}{2}.frac{3}{2}=frac{3}{4};$

$small 3:10=frac{3}{10};$

$small 2,1:7=frac{21}{10}:7=frac{21}{10}.frac{1}{7}=frac{3}{10};$

$small 3:0,3=3:frac{3}{10}=3.frac{10}{3}=10;$

– Từ kết quả trên, ta có các tỉ số bằng nhau là:

$small frac{28}{14}=frac{8}{4}(=2);$ $small frac{3}{10}=frac{2,1}{7}left (=frac{3}{10} ight )$

* Ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:

a) 6.63 = 9.42.

b) 0,24.1,61 = 0,84.0,46.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a) Từ 6.63 = 9.42 ta có:

$small frac{6}{9}=frac{42}{63};$ $small frac{6}{42}=frac{9}{63};$ $small frac{9}{6}=frac{63}{42};$ $small frac{42}{6}=frac{63}{9};$

b) Từ 0,24.1,61 = 0,84.0,46 ta có:

$small frac{0,24}{0,84}=frac{0,46}{1,61};$ $small frac{0,24}{0,46}=frac{0,84}{1,61};$ $small frac{0,84}{0,24}=frac{1,61}{0,46};$ $small frac{0,46}{0,24}=frac{1,61}{0,84};$

° Dạng 2: Tìm x từ tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow a.d=b.c$

* Ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{x}{27}=frac{-2}{3,6};$

b) small -0,52:x=-9,36:16,38

c) $small frac{4frac{1}{4}}{2frac{7}{8}}=frac{x}{1,61}$

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a) $small frac{x}{27}=frac{-2}{3,6};$ small Rightarrow x.3,6=(-2).27 $small Rightarrow x=frac{(-2).27}{3,6}=-15$

b) small -0,52:x=-9,36:16,38 $small Rightarrow frac{(-0,52)}{x}=frac{(-9,36)}{16,38}$

small Rightarrow x.(-9,36)=(-0,52).16,38 $small Rightarrow x=frac{(-0,52).16,38}{(-9,36)}=frac{91}{100}=0,91$

c) $small frac{4frac{1}{4}}{2frac{7}{8}}=frac{x}{1,61}$ $small Rightarrow 4frac{1}{4}.1,61=x.2frac{7}{8}$

$small Rightarrow frac{17}{4}.1,61=x.frac{23}{8}$ $small Rightarrow x= frac{17}{4}.1,61:frac{23}{8}$

$small Rightarrow x= frac{17}{4}.frac{161}{100}.frac{8}{23}$ $small =frac{17.7}{50}=frac{119}{50}=2,38$

* Ví dụ 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{3x+2}{5x+7}=frac{3x-1}{5x+1}$

b) $small frac{x+1}{2x+1}=frac{0,5x+2}{x+3}$

◊ Lời giải ví dụ 2:

a) $small frac{3x+2}{5x+7}=frac{3x-1}{5x+1}$

small Rightarrow (3x+2).(5x+1)=(3x-1).(5x+7)

$small Rightarrow 15x^{2}+3x+10x+2$ $small =15x^{2}+21x-5x-7$

small Rightarrow 3x=9 Rightarrow x = 3

b) $small frac{x+1}{2x+1}=frac{0,5x+2}{x+3}$

small Rightarrow (x+1).(x+3)=(0,5x+2)(2x+1)

$small Rightarrow x^{2}+3x+x+3$ $small =x^{2}+0,5x+4x+2$

small Rightarrow 0,5x=1 small Rightarrow x=2

° Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Đặt $small frac{a}{b}=frac{c}{d}=k$ small Rightarrow a=k.b;c=k.d rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được cùng một biếu thức, suy ra điều phải chứng minh (đpcm).

– Hoặc có thể dùng tính chất: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow a.d=c.b$ để chứng minh

– Hoặc dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Hoặc dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

* Ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ small (a-b eq 0, c-d eq 0) ta có thể suy ra tỉ lệ thức: $small frac{a+b}{a-b}=frac{c+d}{c-d}$

◊ Lời giải ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Ta có: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow frac{a}{c}=frac{b}{d}$

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$small frac{a}{c}=frac{b}{d}=frac{a+b}{c+d}=frac{a-b}{c-d}$

$small frac{a+b}{c+d}=frac{a-b}{c-d}Rightarrow frac{a+b}{a-b}=frac{c+d}{c-d}$

° Dạng 4: Tìm x, y trong dãy tỉ số bằng nhau

* Phương pháp:

– Đưa về cùng một tỉ số: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

– Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Sử dụng phương pháp thế (rút x, hoặc y từ một biểu thức thế vào biểu thức còn lại để tính)

– Đặt: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

* Ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm 2 số x và y biết:

$small frac{x}{3}=frac{y}{5}$ và small x+y=16

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$small frac{x}{3}=frac{y}{5}$ $small =frac{x+y}{3+5}=frac{16}{8}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{3}=2Rightarrow x=3.2=6$ ; $small frac{y}{5}=2Rightarrow y=5.2=10$

* Ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm 2 số x và y biết:

x:2=y:(-5) và x-y=(-7).

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có: $small x:2=y:(-5)Rightarrow frac{x}{-5}=frac{y}{2}$

– Theo tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, và giả thiết x-y=-7, ta có:

$small frac{x}{-5}=frac{y}{2}=frac{x-y}{-5-2}=frac{-7}{-7}=1$

– Vậy có: $small frac{x}{-5}=1Rightarrow x=1.(-5)=-5$ ; $small frac{y}{2}=1Rightarrow y=1.2=2$

* Ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm diện tích hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó là 2/5 và chu vi là 28m.

◊ Lời giải ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x và y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật (đơn vị mét và x, y > 0).

– Theo bài ra, ta có chu vi hình chữ nhật là 28m nên: (x + y).2 = 28 ⇒ x + y =28 : 2 = 14.

– Cũng theo bài ra, tỉ số giữa 2 cạnh là 2/5 nên ta có: $small frac{x}{y}=frac{2}{5}Rightarrow frac{x}{2}=frac{y}{5}$

– Theo tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau, kết hợp với x+y=14, ta có: $small dpi{100} fn_cm small frac{x}{2}=frac{y}{5}=frac{x+y}{2+5}=frac{14}{7}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{2}=2Rightarrow x=4$ ; $small frac{y}{5}=2Rightarrow y=10$

° Dạng 5: Tính tổng hay hiệu một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}=k$ small Rightarrow x=k.a;y=k.b;z=k.c rồi thay vào biểu thức.

♣ Cách 2: Dùng tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau.

* Ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2 ; 4 ; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn biết rằng ba bạn có 44 viên bi.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x, y, z lần lượt là số viên bị của ba bạn Minh, Hùng, Dũng

– Theo bài ra, số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5 nên có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{5}$

– Theo bài ra, 3 bạn có tổng cộng 44 viên bi nên: x + y + z = 44. (*)

– Từ tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau kết hợp (*) ta có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{5}$ $small =frac{x+y+z}{2+4+5}=frac{44}{11}=4$

– Vậy có: $small frac{x}{2}=4Rightarrow x=8$ ; $small frac{y}{4}=4Rightarrow y=16$ ; $small frac{z}{5}=4Rightarrow z=20$

* Ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm ba số x, y, z biết x/2 = y/3; y/4 = z/5 và x + y – z = 10.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{3}$ $small Rightarrow frac{x}{2}.frac{1}{4}=frac{y}{3}.frac{1}{4}$ $small Rightarrow frac{x}{8}=frac{y}{12}$

$small frac{y}{4}=frac{z}{5}$ $small Rightarrow frac{y}{4}.frac{1}{3}=frac{z}{5}.frac{1}{3}$ $small Rightarrow frac{y}{12}=frac{z}{15}$

– Do đó, ta có: $small frac{x}{8}= frac{y}{12}=frac{z}{15}$

– Từ tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, ta có:

$small frac{x}{8}= frac{y}{12}=frac{z}{15}$ $small =frac{x+y-z}{8+12-15}=frac{10}{5}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{8}=2Rightarrow x=16$ ; $small frac{y}{12}=2Rightarrow y=24$ ; $small frac{z}{15}=2Rightarrow z=30$

° Dạng 6: Tính tích một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

– Đưa về cùng tỉ số: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$ small Rightarrow x=k.a;y=k.b;z=k.c rồi thay vào biểu thức để tìm k, sau đó tính x,y,z từ small x=k.a;y=k.b;z=k.c .

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

* Ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm hai số x và y biết rằng: $small frac{x}{2}=frac{y}{5}$ và x.y=10.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{2}=frac{y}{5}=k$

⇒ x = 2.k; y = 5.k;

– Theo bài ra, ta có: x.y = 10 ⇒ 2k.5k = 10 ⇒ 10k² = 10 ⇒ k² = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = -1.

• Với k = 1 thì x = 2k = 2; y = 5k = 5.

• Với k = -1 thì x = 2k = -2; y = 5k = -5.

⇒ Vậy x = 2 ; y = 5 hoặc x = -2; y = -5.

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

– Theo bài ra, ta có: $small frac{x}{2}=frac{y}{5}Rightarrow frac{x}{2}.frac{x}{2}=frac{y}{5}.frac{x}{2}$ (nhân cả 2 vế của đẳng thức với $small frac{x}{2}$ )

$small Rightarrow left ( frac{x}{2} ight )^{2}=frac{x.y}{10}=frac{10}{10}=1$

$small Rightarrow frac{x}{2}=1$ hoặc $small frac{x}{2}=-1$

small Rightarrow left [ egin{matrix} x=2 x=-2 end{matrix}

– Trường hợp 1: x = 2 ⇒ y = 5

– Trường hợp 2: x = -2 ⇒ y = -5.

° Dạng 7: Vận dụng tính chất Tỉ lệ thức chứng minh bất đẳng thức

♦ Tính chất 1: Cho hai số hữu tỉ $small frac{a}{b}$ và $small frac{c}{d}$ với b>0; d>0. Chứng minh: $small frac{a}{b}< frac{c}{d}Rightarrow ad< bc$

◊ Hướng dẫn:

– Có $small left.egin{matrix} frac{a}{b}<frac{c}{d} b>0;d>0 end{matrix} ight}$ $small Rightarrow frac{ad}{bd}<frac{cb}{db}Rightarrow ad<bc$

– Có small left.egin{matrix} ad<bc b>0;d>0 end{matrix} ight} $small Rightarrow frac{ad}{bd}<frac{bc}{db}Rightarrowfrac{a}{b}<frac{c}{d}$

♦ Tính chất 2: Nếu b>0; d>0 thì từ $small frac{a}{b}< frac{c}{d}Rightarrow frac{a+c}{b+d}< frac{c}{d}$

◊ Hướng dẫn:

– Có $small left.egin{matrix} frac{a}{b}< frac{c}{d} b> 0;d> 0 end{matrix} ight}$ small Rightarrow ad< bc;(1)

– Cộng 2 vế của (1) với ab ta có:

small ad + ab < bc + ab small Rightarrow a(b + d) < b(a + c)

$small Rightarrow frac{a}{b}<frac{a+c}{b+d};(2)$

– Công 2 vế của (1) với dc ta có:

small ad+dc<bc+dc small Rightarrow d(a+c)<c(b+d)

$small Rightarrow frac{a+c}{b+d}<frac{c}{d};(3)$

– Từ (2) và (3), ta được: $small frac{a}{b}< frac{c}{d}$ $small Rightarrow frac{a}{b}< frac{a+c}{b+d}< frac{c}{d}$ (đpcm).

♦ Tính chất 3: Cho a, b, c là các số dương, nên:

a) Nếu $small frac{a}{b}< 1$ thì $small frac{a}{b}< frac{a+c}{b+c}$

a) Nếu $small frac{a}{b}> 1$ thì $small frac{a}{b}> frac{a+c}{b+c}$

* Ví dụ : Cho a, b, c, d > 0; chứng minh:

$small 1<frac{a}{a+b+c}+frac{b}{b+c+d}$ $small +frac{c}{c+d+a}+frac{d}{d+a+b}<2$

◊ Lời giải:

– Từ $small frac{a}{a+b+c}<1$ theo tính chất (3) ta có:

$small frac{a+d}{a+b+c+d}>frac{a}{a+b+c};(1)$ [do d>0]

– Mặt khác: $small frac{a}{a+b+c}>frac{a}{a+b+c+d};(2)$

– Từ (1) và (2) ta có: $small frac{a}{a+b+c+d}<frac{a}{a+b+c}$ $small <frac{a+d}{a+b+c+d};(3)$

– Tương tự ta có:

$small frac{b}{a+b+c+d}<frac{b}{b+c+d}$ $small dpi{100} fn_cm small <frac{b+a}{b+c+d+a};(4)$

$small dpi{100} fn_cm small frac{c}{a+b+c+d}<frac{c}{c+d+a}$ $small dpi{100} fn_cm small <frac{c+b}{c+d+a+b};(5)$

$small frac{d}{d+a+b+c}<frac{d}{d+a+b}$ $small <frac{d+c}{d+a+b+c};(6)$

– Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (3); (4); (5); (6) ta được:

$small 1<frac{a}{a+b+c}+frac{b}{b+c+d}$ $small +frac{c}{c+d+a}+frac{d}{d+a+b}<2$

III. Một số bài tập về tỉ lệ thức

* Bài tập 1: Các số sau có lập được tỉ lệ thức không

a) 3,5:5,25 và 14:21

b) $small 39frac{3}{10}:52frac{2}{5}$ và 2,1:3,5

c) 6,51:15,19 và 3:7

d) $small -7:4frac{2}{3}$ và 0,9:(-0,5)

* Bài tập 2: Tìm x từ tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{2x+1}{5}=frac{3}{2x-1}$

b) $small 1frac{1}{2}:(3x-2)=frac{1}{12}:frac{4}{21}$

c) $small frac{x}{-4}=frac{-16}{x}$

d) $small frac{-2}{x}=frac{-x}{frac{8}{25}}$

* Bài tập 3: Chứng minh rằng: Nếu a² = bc thì: $small frac{a+b}{a-c}=frac{c+a}{c-a}$

* Bài tập 4: Chứng minh rằng: Nếu $small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ thì: $small frac{5a+3b}{5a-3b}=frac{5c+3d}{5c-3d}$

* Bài tập 5: Tìm x và y biết:

a) $small frac{x}{y}=frac{3}{4}$ và small 2x+5y=10

b) $small frac{2x}{3y}=-frac{1}{3}$ và small 2x+3y=7

c) small 21x=19y và small x-y=4

d) $small frac{x}{5}=frac{y}{3}$ và $small x^{2}-y^{2}=4;(x,y> 0)$

* Bài tập 5: Tìm x, y và z biết:

a) $small frac{x}{2}=frac{y}{3};$ $small frac{y}{5}=frac{z}{7};$ small x+y+z=92

b) small 2x=3y=5z; small x+y-z=95

* Bài tập 6: Cho $small frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{5}$ tính $small A=frac{3x-5y+5z}{x+y+3z}$

* Bài tập 7: Cho $small frac{x}{4}=frac{y}{7}=frac{z}{5}$ tính $small B=frac{2x+y-z}{x+6y-5z}$

* Bài tập 8: Tìm x, y và z biết

a) $small frac{x}{3}=frac{y}{7};x.y=84$

b) $small frac{x}{3}=frac{y}{2}=frac{z}{6};xyz=288$

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về tỉ lệ thức và các ví dụ, bài tập minh họa ở trên ở trên giúp các em nắm vững các phương pháp giải dạng toán này. Các em cần tự luyện thêm các bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng giải bởi với các dạng toán tỉ lệ thức đòi hỏi vận dụng và biến đổi linh hoạt, chúc các em thành công.

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục