Tổng hợp 2 Dao động Điều hòa cùng phương cùng tần số (Lý thuyết, bài tập vận dụng)

Ở nội dung các bài học trước, các em đã biết con lắc lò xo là dao động điều hòa, con lắc đơn khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)) cũng là dao động điều hòa, biết được phương trình dao động điều hòa của các con lắc.

Vậy cách tổng hợp Dao động Điều hòa cùng phương, cùng tần số như thế nào? Khi đó, tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp ra sao? Biên độ của Dao động tổng hợp đạt giá trị lớn nhất khi nào? nhỏ nhất khi nào? 2 dao động là cùng pha, ngược pha hay vuông pha thì biên độ dao động tổng hợp có công thức tính thế nào? Tất cả thắc mắc đó sẽ được giải đáp ở bài viết này.

This post: Tổng hợp 2 Dao động Điều hòa cùng phương cùng tần số (Lý thuyết, bài tập vận dụng)

I. Dao động điều hòa – kiến thức cần nhớ

– Khi vật tham gia đồng thời nhiều dao động cùng tần số thì dao động của vật là dao động tổng hợp. Giả sử một vật tham gia đồng thời hai dao động:

x₁ = A₁cos(ωt + φ₁)

x₂ = A₂cos(ωt + φ₂)

– Ta lần lượt vẽ hai vectơ quay đặc trưng cho hai dao động:
tổng hợp 2 dao động điều hòa

– Khi đó, dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ)

– Nếu cùng biên độ thì cộng lượng giác: x = x₁ + x₂

– Nếu biên độ khác nhau thì nên sử dụng biểu diễn vectơ quay để tổng hợp các dao động cùng phương, cùng tần số.

• Phương pháp vectơ quay:

– Công thức tính biên độ:

$small A^2=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_1A_2cos(varphi _2-varphi _1)$

– Công thức tính pha ban đầu:

$small tanvarphi =frac{A_1sinvarphi _1+A_2sinvarphi _2}{A_1cosvarphi _1+A_2cosvarphi _2}$

– Nếu 2 vectơ cùng pha:

$dpi{100} fn_cm small A_{max}=A_1+A_2;: varphi =varphi _1=varphi _2$

→ Biên độ của Dao động tổng hợp đạt giá trị lớn nhất khi 2 vectơ cùng pha

– Nếu 2 vectơ ngược pha:

$small small A_{min}=left |A_1-A_2 right |;: left { begin{matrix} A_1>A_2Rightarrow varphi =varphi _1 A_1<A_2Rightarrow varphi =varphi _2 end{matrix} right.$

→ Biên độ của Dao động tổng hợp đạt giá trị lớn nhất khi 2 vectơ ngược pha

– Nếu 2 vectơ vuông pha: $small A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}$

– Khi A₁ và A₂ xác định φ₁, φ₂ chưa biết, ta luôn có:

small left | A_1-A_2 right |leq Aleq A_1+A_2

II. Bài tập tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

* Bài tập 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa: x_1=4cos(3pi t)(cm) và $x_2=4cos(3pi t+frac{pi }{3})(cm)$ . Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên.

* Lời giải:

– Đề cho: A₁ = 4(cm); ω₁ = 3π; φ₁ = 0; A₂ = 4(cm); ω₂ = 3π; φ₂ = π/3;

– Vì 2 dao động cùng tân số nên dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ).

– Tính biên độ A của dao động tổng hợp:

$A=sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_1A_2cos(varphi _2-varphi _1)}$ $=sqrt{4^2+4^2+2.4.4.cosleft ( frac{pi }{3} right )-0}=4sqrt{3}(cm)$

– Tính pha ban đầu φ của dao động tổng hợp:

$tanvarphi =frac{A_1sinvarphi _1+A_2sinvarphi _2}{A_1cosvarphi _1+A_2cosvarphi _2}=frac{4sin0+4sinfrac{pi }{3}}{4cos0+4cosfrac{pi }{3}}$ $=frac{0+4.frac{sqrt{3}}{2}}{4+4.frac{1}{2}}=frac{sqrt{3}}{3}Rightarrow varphi =frac{pi }{6}$

→ Vậy dao động tổng hợp của hai dao động trên là:

$x=4sqrt{3}cos(3pi t+frac{pi }{6})(cm)$

* Bài tập 2: Cho hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động lần lượt là x₁ = 5√3sin(3πt + π/2)(cm) và x₂ = 5√3sin(3πt – π/2)(cm). Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên bằng bao nhiêu?

* Lời giải:

– Ta thấy 2 dao động trên ngược pha nhau, Δφ = φ₂– φ₁ = -π nên biên độ dao động tổng hợp sẽ là: A = |A₂ – A₁| = 0.

* Bài tập 3: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω = 5π rad/s, với các biên độ: A₁ = √3/2 cm, A₂ = √3 cm và các pha ban đầu tương ứng φ₁ = π/2 và π₂ = 5π/6. Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên.

* Lời giải:

– Áp dụng công thức tính biên độ của dao động tổng hợp:

$A^2=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_1A_2cos(varphi _2-varphi _1)$

$=left ( frac{sqrt{3}}{2} right )^2+left ( sqrt{3} right )^2+2.frac{sqrt{3}}{2}.sqrt{3}cosleft ( frac{5pi }{6}-frac{pi }{2} right )$

Rightarrow A=2,3(cm)

– Pha ban đầu của dao động tổng hợp:

$tanvarphi =frac{A_1sinvarphi _1+A_2sinvarphi _2}{A_1cosvarphi _1+A_2cosvarphi _2}$

$=frac{frac{sqrt{3}}{2}sinleft ( frac{pi }{2} right )+sqrt{3}sinleft ( frac{5pi }{6} right )}{frac{sqrt{3}}{2}cosleft ( frac{pi }{2} right )+sqrt{3}cosleft ( frac{5pi }{6} right )}Rightarrow varphi =0,73pi$

– Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x=2,3cos(5pi t+0,73pi )

* Bài tập 4: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x₁ = 8cos(10πt + π/4)(cm) và x₂ = 5cos(10πt – 3π/4)(cm). Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là bao nhiêu?

* Lời giải:

– Ta có: Δφ = φ₂– φ₁ = (-3π/4) – π/4 = -π

⇒ hai dao động trên ngược pha

– Biên độ dao động tổng hợp: A = |A₁ – A₂| = |8 – 5| = 3(cm).

⇒ Vận tốc của ở VTCB là: v_VTCB = v_max = ωA = 10.3 = 30 (cm/s).

* Bài tập 5: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5√3cos(10πt + π/2) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức là x₁ = 5cos(10πt + π/3)(cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.

* Lời giải:

– Về bản chất tổng hợp 2 dao động điều hòa, ta có: $overrightarrow{A}=overrightarrow{A_1}+overrightarrow{A_2}Rightarrow overrightarrow{A_2}=overrightarrow{A}-overrightarrow{A_1}$

$Rightarrow A_{2}^{2}=A^2+A_{1}^{2}-2AA_1cos(varphi -varphi _1)$

$=(5sqrt{3})^2+5^2-2.5sqrt{3}.5.cosleft ( frac{pi }{2}-frac{pi }{3}right )$

=75+25-75=25Rightarrow A=5(cm)

– Ta lại có:

$tanvarphi _2=frac{Asinvarphi -A_1sinvarphi _1}{Acosvarphi =A_1cosvarphi _1}=tanfrac{2pi }{3}Rightarrow varphi _2=frac{2pi }{3}$

→ Vậy phương trình dao động của thứ 2 là: $dpi{100} fn_cm x_2=5cos ( 10pi t +frac{2pi }{3} )(cm)$

Như vậy, để tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số các em cần ghi nhớ các công thức tính biên độ, tính pha ban đầu của dao động tổng hợp, đặc biệt lưu ý: Biên độ dao động tổng hợp lớn nhất khi nào? nhỏ nhất khi nào?

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục