Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m – Toán 9 chuyên đề

Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m. Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.

Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.

This post: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m – Toán 9 chuyên đề

A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b² – 4ac

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$small x_1=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};$ $small x_2=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a};$

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

$small x_1=x_2=-frac{b}{2a}$

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn (tức b = 2b’) ta có thể tính biệt thức Δ’ để giải biện luận phương trình.

Δ’ = b’² – ac

Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$small x_1=frac{-b'+sqrt{Delta '}}{a};: : x_2=frac{-b'-sqrt{Delta '}}{a};$

Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

$small x_1=x_2=frac{-b'}{a}$

Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m

Xét các trường hợp của hệ số a:

+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.

+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Tính biệt thức delta (hoặc Δ’)

– Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số

– Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

x² – 2(3m – 1)x + 9m² – 6m – 8 = 0 (*)

* Lời giải:

Để ý phương trình (*) có các hệ số: a = 1; b = 2(3m – 1) và c = 9m² – 6m – 8

Vì vậy ta tính biệt số Δ’, ta có:

Δ’ = b’² – ac = (3m – 1)² – 1.(9m² – 6m – 8)

= 9m² – 6m + 1 – 9m² + 6m + 8

= 9 > 0

Suy ra: small sqrt{Delta '}=sqrt{9}=3

Nên sao có 2 nghiệm phân biệt:

$small x_1=frac{-b'+sqrt{Delta '}}{a}=frac{3m-1+3}{1}=3m+2$

$small x_2=frac{-b'-sqrt{Delta' }}{a}=frac{3m-1-3}{1}=3m-4$

→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt (*) luông có 2 nghiệm phân biệt.

* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:

3x² – mx + m² = 0

* Lời giải:

Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m²

Tính biệt thức delta:

Δ = b² – 4ac = (-m)² – 4.3.m² = m² – 12m² = -11m² ≤ 0 (với mọi m)

+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m² = 0 ⇔ m = 0

Phương trình (*) có nghiệm kép: x₁ = x₂ = 0

+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m² < 0 ⇔ m ≠ 0

Phươn trình (*) vô nghiệm.

→ Kết luận: Với m = 0 pt (*) có nghiệm kép x = 0

Với m ≠ 0 pt (*) vô nghiệm

* Bài tập 3: Cho phương trình mx² – 2(m – 1)x + (m + 1) = 0 (*) với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm.

* Lời giải:

a) Với m = -2, pt (*) trở thành: -2x² – 2(-2 – 1)x + (-2 + 1) = 0

⇔ -2x² + 6x – 1 = 0

⇔ 2x² – 6x + 1 = 0

Tính biệt số delta (các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé):

Δ = b² – 4ac = (-6)² – 4(2.1) = 36 – 8 = 28 > 0

Suy ra small sqrt{Delta }=sqrt{28}=2sqrt{7}

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$small x_1=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{6+2sqrt{7}}{4}=frac{3+sqrt{7}}{2}$

$small x_2=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{6-2sqrt{7}}{4}=frac{3-sqrt{7}}{2}$

b) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi: small left{begin{matrix} mneq 0 Delta '>0 end{matrix}right.

Δ’ = b’² – ac = (m – 1)² – m(m + 1)

= m² – 2m + 1 – m² – m

= -3m + 1

Δ’ > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m <1/3

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm khi chỉ khi: $small 0neq m<frac{1}{3}$

c) Với m = 0: Pt(*) có dạng pt bậc nhất một ẩn: 2x + 1 = 0.

Khi đó pt có nghiệm duy nhất x = -1/2

Với m ≠ 0: pt(*) là pt bậc 2 một ẩn, có 1 nghiệm khi Δ’ = 0

⇔ -3m + 1 = 0 ⇔ m = 1/3

Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi m = 0 hoặc m = 1/3.

* Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau:

(m – 1)x² – 2mx + m + 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Để ý pt(*) có các hệ số: a = (m – 1); b = (-2m); c = (m + 2)

+ Xét trường hợp a = 0, nghĩa là (m – 1) = 0 tức m = 1, ta có:

pt(*) trở thành: -2x + 3 = 0 ⇒ x = 3/2.

+ Xét trường hợp a ≠ 0 (m – 1 ≠ 0) tức m ≠ 1, ta có:

Δ’ = m² – (m – 1).(m + 2)

= m² – (m² + 2m – m – 2)

= m² – m² – m + 2

= -m + 2

– Nếu Δ’ > 0 ⇔ -m + 2 > 0 ⇔ m < 2 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

$small x_1=frac{m+sqrt{2-m}}{m-1};: x_2=frac{m-sqrt{2-m}}{m-1}$

– Nếu Δ’ = 0 ⇔ -m + 2 = 0 ⇔ m = 2 thì pt có nghiệp kép:

small x_1=x_2=2

– Nếu Δ’ < 0 ⇔ -m + 2 < 0 ⇔ m > 2 thì pt vô nghiệm

→ Kết luận:

Với m = 1 hoặc m = 2 phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Với m < 2 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Với m > 2 phương trình (*) vô nghiệm

* Bài tập 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số k:

a) (k – 1)x² + 3kx + 2k + 1 = 0

b) kx² + 2k²x + 1 = 0

* Bài tập 6: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) x² – 2(m – 4)x + m² = 0

b) (2m – 7)x² + 2(2m + 5)x – 14m + 1 = 0

Hy vọng với bài viết Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Mầm Non Ánh Dươngghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Giáo dục