Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng – Toán lớp 9

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức mà các em học ở ngay chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng thường xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Có nhiều dạng bài tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,… Tuy nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung tìm hiểu cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một số bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng giải toán.

This post: Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng – Toán lớp 9

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

• $small A^{2}=B^2Leftrightarrow A=pm B$

• small sqrt{A}+sqrt{B}=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix} ight.

• small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0: (hay: Bgeq 0) A= B end{matrix} ight.

• $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^2 end{matrix} ight.$

• small left | A ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0 A=B end{matrix} ight.: hay: left{egin{matrix} A< 0 A=-B end{matrix} ight.

• small left | A ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B: hay: A=-B end{matrix} ight.

• small left | A ight |=left | B ight |Leftrightarrow A=B: hay: A=-B

• small left | A ight |+left | B ight |=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix} ight.

• $small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

• small left | A ight |=left{egin{matrix} A,: khi : Ageq 0 -A,: khi: A< 0 end{matrix} ight.

• small sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B}, : (Ageq 0,Bgeq 0)

• $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}, : (Ageq 0,B> 0)”> II. Cách giải Phương trình có chứa dấu căn 1.Giải phương trình chứa căn thức dạng:<img decoding=$ với e≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp: small f(x)=ax+b hoặc $small f(x)=frac{ax+b}{cx+d}$ thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x)≥ 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1):Tìm x?

a) small sqrt{16x}=8 b) small sqrt{4x}=sqrt{5}

c) small sqrt{9(x-1)}=21 d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$

° Lời giải:

a) small sqrt{16x}=8 (*)

– Điều kiện: x≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

small (*)Leftrightarrow 16x=8^2Leftrightarrow 16x=64Leftrightarrow x=4

– Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b) small sqrt{4x}=sqrt{5} (*)

– Điều kiện:x≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

$small (*)Leftrightarrow 4x=5Leftrightarrow x=frac{5}{4}$

– Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c) small sqrt{9(x-1)}=21 (*)

– Điều kiện:x – 1 ≥ 0⇔ x≥ 1; khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

small (*)Leftrightarrow sqrt{9}.sqrt{(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

$small Leftrightarrow sqrt{x-1}=7Leftrightarrow (x-1)=7^2$ small Leftrightarrow x-1=49Leftrightarrow x=50

– Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$ (*)

– Vì (1 – x)²≥ 0∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.

$small (*)Leftrightarrow sqrt{4(1-x)^2}=6Leftrightarrow 2left | 1-x ight |=6Leftrightarrow left | 1-x ight |=3$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} 1-x=3 1-x=-3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left [egin{matrix} x=-2 x=4 end{matrix} ight.

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$

° Lời giải:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ (*)

– Điều kiện: $small frac{2x-3}{x-1}geq 0Leftrightarrow x<1: hay : xgeq frac{3}{2}$

– Khi đó bình phương 2 vế ta được:

$small frac{2x-3}{x-1}=4Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

– Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2.

b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$ (*)

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} x-1>0 2x-3geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x>1 xgeq frac{3}{2} end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}”> – Khi đó bình phương 2 vế ta được: <img decoding=$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

– Đối chiếu điều kiện (x≥ 3/2)ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận ptvô nghiệm.

ii) Trường hợp: small f(x)=ax^2+bx+c (*)thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax² + bx + c =(Ax ± B)² tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

$small sqrt{f(x)}=eLeftrightarrow sqrt{(Axpm B)^2}=e$ small Leftrightarrow left [begin{matrix} Axpm B=e Axpm B=-e end{matrix} right.Rightarrow x=?

+) Nếu small f(x)=ax^2+bx+c không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Điều kiện f(x)≥ 0

– Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

– Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $dpi{100} fn_cm small sqrt{2x^2-8x+8}=3sqrt{2}$ (*)

° Lời giải:

– Vì: 2x² – 8x + 8 = 2(x² – 4x + 4) = 2(x – 2)² nên ta có:

$small (*) Leftrightarrow sqrt{2(x-2)^2}=3sqrt{2} Leftrightarrow sqrt{2}.sqrt{(x-2)^2}=3sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-2)^2}=3Leftrightarrow left | x-2 ight |=3$ small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix} ight.

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-4x+6}=sqrt{11}$ (*)

° Lời giải:

– Ta thấy: x² – 4x + 6 = x² – 4x + 4 + 2 = (x – 2)² + 2 không có dạng(Ax± B)²nên ta thực hiện như sau:

– Điều kiện:x²– 4x + 6≥ 0⇔(x – 2)²+ 2≥ 0∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.

– Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x – 2)²+ 2 = 11⇔(x – 2)²= 9 small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix} ight.

– Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: small sqrt{f(x)}=g(x)

* Phương pháp giải:

– Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: small left{egin{matrix} f(x)geq 0 g(x)geq 0 end{matrix} ight.

– Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax± B)² thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương phápbình phương 2 vế.

¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức(Ax± B)²] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax²+ Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

– Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-5)^2}=3-xLeftrightarrow left | x-5 ight |=3-x$

small Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=3-x end{matrix} ight. left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=-(3-x )end{matrix} ight. end{matrix} ight. Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} x leq 3 x=4 end{matrix} ight. left{egin{matrix} x leq 3 -2=0 end{matrix} ight. end{matrix} ight.

– Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$ (*)

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=3-x end{matrix} ight. egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=-(3-x) end{matrix} ight. end{matrix} end{matrix} ight. left [egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 x=3 end{matrix} ight. egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 0.x=0 end{matrix} ight. end{matrix} end{matrix} ight.Leftrightarrow xleq 3

– Vậy phương trình có vô số nghiệm x≤ 3.

* Ví dụ 3:Giải phương trình sau: small sqrt{2x-3}=x-1

° Lời giải:

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} 2x-3geq 0 x-1geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeqfrac{3}{2} xgeq 1 end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}$

– Bình phương 2 vế ta được:

2x – 3 = (x – 1)²⇔ 2x – 3 = x² – 2x + 1

⇔ x² – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)² = 0⇔ x = 2.

– Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

– Phương trình có nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4:Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-5x-6}=x-2$ (*)

° Lời giải:

–Ta thấy: f(x) = x² – 5x – 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax± B)²(và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} x^2-5x-6geq0 x-2geq0 end{matrix} ight.$ khi đó ta bình phương 2 vế được:

small (*)Leftrightarrow x^2-5x-6=(x-2)^2

small Leftrightarrow x^2-5x-6=x^2-4x+4Leftrightarrow x = -10

– Kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: $small sqrt{[f(x)]^2}pm sqrt{[h(x)]^2}=g(x)$

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1:Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn≥ 0.

– Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối:|f(x)|± |h(x)| = g(x).

– Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình: small sqrt{x+4-4sqrt{x}}-sqrt{x+9-6sqrt{x}}=1 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥ 0.

– Mặt khác, ta thấy: $small {x+4-4sqrt{x}}=(sqrt{x}-2)^2$ và $small {x+9-6sqrt{x}}=(sqrt{x}-3)^2$ nên ta có:

small (*)Leftrightarrow left | sqrt{x}-2 ight |-left | sqrt{x}-3 ight |=1 (**)

– Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow sqrt{x}geq 3Leftrightarrow xgeq 9 , ta có:

small (**)Leftrightarrow sqrt{x}-2-sqrt{x}+3=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=0

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x≥ 9.

+) TH2:Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 4 x< 9 end{matrix} ight.Leftrightarrow 4leq x< 9 , ta có:

small (**)Leftrightarrow left ( sqrt{x}-2 ight )-(3-sqrt{x})Leftrightarrow 2sqrt{x}=6Leftrightarrow x=9

– Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.

+) TH3:Nếu small small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 xgeq 9 end{matrix} ight.Leftrightarrow xin varnothing

+) TH4:Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 x< 9 end{matrix} ight.Leftrightarrow x< 4 , ta có:

small (**)Leftrightarrow (2-sqrt{x})-(3-sqrt{x})=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=2

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x≥ 9.

* Ví dụ 2:Giải phương trình: small sqrt{x+3-4sqrt{x-1}}+sqrt{x+8-6sqrt{x-1}}=4

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥ 1

– Nhận thấy: $small x+3-4sqrt{x-1}=(x-1)-4sqrt{x-1}+4=(sqrt{x-1}-2)^2$

$small x+8-6sqrt{x-1}=(x-1)-6sqrt{x-1}+9=(sqrt{x-1}-3)^2$

– Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

4. Cách giải một số phương trình chứa căn khác.

i) Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa dấu căn.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: small x-3sqrt{x}+2=0 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥ 0

Đặt $small sqrt{x}=t,: (tgeq 0)Rightarrow x=t^2$ khi đó ta có pt (*) trở thành:

$small t^{2}-3t+2=0Leftrightarrow (t-1)(t-2)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=1 t=2 end{matrix} ight.$

– Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:

small t=1 Rightarrow sqrt{x}=1Rightarrow x=1

small t=2 Rightarrow sqrt{x}=2Rightarrow x=4

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em sẽ học ở nội dung bài chương sau).

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau: small sqrt{x-2}+sqrt{x+3}=5 (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: small left{egin{matrix} x-2geq 0 x+3geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq 2

Đặt $small sqrt{x-2}=t,(tgeq 0)Rightarrow x-2=t^{2}Rightarrow x=t^2+2$ , khi đó pt(*) trở thành:

$small t+sqrt{t^{2}+5}=5 Leftrightarrow sqrt{t^{2}+5}=5-t,: (**)$

– Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3;với điều kiện 5 – t≥ 0⇔ t≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

t² + 5 = (5 – t)²⇔ t² + 5 = t² – 10t + 25⇔ 10t = 20⇔ t= 2

– Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

small sqrt{x-2}=2Leftrightarrow x-2=4Leftrightarrow x=6

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3:Giải phương trình sau: $small x^2-2x+3sqrt{x^2-2x-3}=7$ (*)

° Lời giải:

– Điều kiện: x² – 2x – 3≥ 0. Khi đó ta có:

$small (*)Leftrightarrow x^2-2x-3+3sqrt{x^2-2x-3}-10=0(**)$

Đặt $small sqrt{x^2-2x-3}=t,: (tgeq 0)Rightarrow t^{2}=x^2-2x-3$ khi đó pt(**) trở thành:

$small t^2+3t-10=0Leftrightarrow (t-2)(t+5)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=2 t=-5 end{matrix} ight.$

– Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

Với t = 2⇒ x² – 2x – 3 = 4 ⇔ x² – 2x – 7 = 0⇔ (x²– 2x + 1) – 8 = 0.

$small Leftrightarrow (x-1)^2=8Leftrightarrow left [egin{matrix} x-1=2sqrt{2} x-1=-2sqrt{2} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1+2sqrt{2} x=1-2sqrt{2} end{matrix} ight.$

– Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1± 2√2.

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.

– Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: $small sqrt{[f(x)]^2+c}+sqrt{[h(x)]^2+d}=pm [g(x)]^2+e$ (với c,d>0 và c+d=e)

– PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)]²;[h(x)]²hay[g(x)]²;

* Ví dụ: Giải phương trình sau: $small sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^4-10x^2+30}=8$ (*)

° Lời giải:

– Ta nhận thấy:

small 3x^2+6x+12=3(x^2+2x+1)+9=3(x+1)^2+9geq 9

$small Rightarrow sqrt{3(x+1)^2+9}geq 3$

small 5x^4-10x^2+30=5(x^4-2x^2+1)+25=5(x^2-1)^2+25geq 25

$small Rightarrow sqrt{5(x^2-1)^2+25}geq 5$

– Do đó: $sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^2-10x+30}geq 8$ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$small left{egin{matrix} sqrt{3x^2+6x+12}=3 sqrt{5x^4+6x^2+12}=5 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 3(x+1)^2+9=9 5(x^2-1)^2+25=25 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x+1=0 x^2-1=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x=-1$

→ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

III. Một số bài tập về phương trình có chứa dấu căn

* Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) small sqrt{x+2sqrt{x-1}}=2

b) $small sqrt{4x^2-20x+25}+2x=5$

* Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $small sqrt{2x^2-3}=sqrt{4x-3}$

b) $small sqrt{x^2-x}=sqrt{3-x}$

c) $small sqrt{x^2-x-6}=sqrt{x-3}$

* Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $small sqrt{x^2-4x+4}=sqrt{4x^2-12x+9}$

b) $small sqrt{x^2-4}+sqrt{x^2+4x+4}=0$

c) $small sqrt{1-x^2}+sqrt{x+1}=0$

d) $small sqrt{x^2-8x+16}+left | x+2 ight |=0$

Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình chứa dấu căn ở trên giúp các em hiểu rõ hơn phương pháp giải các dạng toán căn thức này. Qua đó dễ dàng giải các bài toán tương tự khi gặp. Chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường Mầm Non Ánh Dương. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường Mầm Non Ánh Dương (mamnonanhduongvt.edu.vn)

Source: Mamnonanhduongvt.edu.vn
Category: Tin Tức